Gyro向量空間中的Gyro重心坐標(biāo)公式.pdf

1、在二十世紀(jì)末的1988年，Abraham A.Ungar發(fā)現(xiàn)了Einstein速度加法法則具有類似群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，之后被稱為gyro群.后來結(jié)合Einstein數(shù)乘，創(chuàng)立了Einstein gyro向量空間.Gyro向量空間與雙曲幾何的關(guān)系好比是向量空間與歐式幾何的關(guān)系.這一新的發(fā)現(xiàn)將為我們研究雙曲幾何提供強(qiáng)有力的武器，是雙曲幾何，乃至數(shù)學(xué)界的一重大發(fā)展.Scott Walter([52])就曾經(jīng)對A.Ungar的作品([17])給予了大

2、力地肯定和支持.在20多年來，它的發(fā)展主要運(yùn)用analogy的手段將歐式空間中好的結(jié)論推廣到新的空間中來.Ungar.A.A在新空間上建立了一套完善的體系，當(dāng)然它也有很多的空白急需填補(bǔ)，這也是我文章中主要的工作.比如，在歐式空間中有很多優(yōu)秀性質(zhì)、被譽(yù)為現(xiàn)代幾何明珠的類似重心，將是本文重點研究的對象，我將考慮它在兩類gyro空間上的gyro重心坐標(biāo)公式，并將它在歐式上的結(jié)論推廣到gyro向量空間中.
　　 2009年，隨著Abra

3、ham A.Ungar給出了gyro向量空間（包括Einstein gyro向量空間和M(o)bius gyro向量空間）中的gyro重心坐標(biāo)公式，將gyro語言進(jìn)一步的完善，gyro2維、3維乃至高維空間中的單形內(nèi)部的特殊點的坐標(biāo)研究又上升到了一個新的平臺，得到很多好的結(jié)果.一大批學(xué)者，如MiltonFerreira([30,31]), Nilgun Sonmez([31]),Tuval Foguel([35]),C.barbu([2

4、4,25]),Demirel Oguzhan([51])等等，在此期間投身gyro領(lǐng)域的研究或給予高度的關(guān)注.本文的工作正是與gyro重心坐標(biāo)的內(nèi)容相匹配.現(xiàn)在，gyro向量空間的研究與多個學(xué)科分支相互促進(jìn)，它的理論廣泛應(yīng)用于并推動雙曲幾何、相對論、量子物理、Clifford代數(shù)等領(lǐng)域的發(fā)展.
　　 本文主要介紹了我通過Einstein gyro向量空間中g(shù)yro重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用對該空間中的gyro類似重心做了的研究，比如分別

5、在Einstein gyro向量空間和M(o)bius gyro向量空間中得到各自的gyro重心坐標(biāo)公式的表達(dá)式，將類似重心在歐式空間上的一些好的性質(zhì)和有趣的結(jié)論運(yùn)用Einstein gyro向量空間上的一些基本理論和gyro重心坐標(biāo)公式，推廣到gyro向量空間.在論文前，我特別向這一領(lǐng)域的創(chuàng)始人Ungar.A.A通過Email交流了我的想法，他表示2，3維gyro單形中的gyro類似重心的gyro重心坐標(biāo)公式目前還沒有人作過，值得嘗試

6、;文章完成后，他表示這是一個novel and interesting result，可以嘗試去發(fā)表一下.我將在文章中給出我在gyro重心坐標(biāo)領(lǐng)域中所做出的結(jié)果.
　　 下面是文章的結(jié)構(gòu)，本文共分為三章:
　　 第一章，介紹本文研究的理論背景，將對gyro向量空間中的Einstein速度加法和數(shù)乘，M(o)bius速度加法和數(shù)乘，以及gyro群等作初步的介紹，并且闡明gyro空間與雙曲空間的緊密聯(lián)系.有關(guān)gyro向量空間

7、的介紹結(jié)束后，我們將說明Einstein gyro向量空間和M(o)bius gyro向量空間是同構(gòu)的，并給出兩個空間中g(shù)yro向量相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系式.
　　 第二章，介紹2009年Abraham A.Ungar教授給出的gyro空間中的gyro重心坐標(biāo)公式和已有結(jié)果，它的形式與歐式空間的有類似之處，但是多了一個gamma因子，因此計算和作用的步驟也比歐式較煩瑣一些.為了更好的讓大家理解gyro重心坐標(biāo)公式，我先給出Ungar已有

8、的幾個重要結(jié)果:gyro2維單形（后面都通俗的稱為gyro三角形）的垂心、重心在兩類gyro向量空間上的坐標(biāo)表達(dá)式等等，當(dāng)然gyro3維單形（后面通俗的稱為gyro四面體）上也有相應(yīng)的好的結(jié)果.然后，對另外一個重要的概念引入gyro空間，即gyro類似重心.我們將分別在Einstein gyro空間和M(o)bius gyro向量空間上給出gyro類似重心相應(yīng)的gyro重心坐標(biāo)公式.方法與Ungar教授([16])在處理gyro重心、g

9、yro中心等單形內(nèi)重要的點的gyro重心坐標(biāo)公式時用到的方法類似.首先，是在Einstein gyro向量空間上計算它的坐標(biāo)公式，這是由于與Einsteingyro向量空間相匹配的雙曲幾何球狀模型上可以運(yùn)用向量代數(shù)的知識.然后，根據(jù)我們前邊提到的Einstein gyro向量空間和M(o)bius gyro空間的同構(gòu)關(guān)系和轉(zhuǎn)化式子，直接推出結(jié)果.之后，將類似重心在歐式空間上的一些性質(zhì)移植到gyro空間上.在本文中，我的主要結(jié)論如下:

10、r>　　 定理2.1:令點集{A1，A2，A3}中三點在Einstein gyro向量空間(Rns，⊕，(⊕))，n≥2上相互獨(dú)立.那么由點集{A1，A2，A3}中三個元素組成的gyro三角形A1A2A3的gyro類似重心有下面的gyro重心坐標(biāo)公式:
　　 S=a223γ223γA1A1+a213γ213γA2A2+a212γ212γA3A3/a223γ223γA1+a213γ213γA2+a212γ212γA3該gyro重

11、心坐標(biāo)公式是關(guān)于集合{A1，A2，A3}所給出的，其相應(yīng)的gyro坐標(biāo)為(m1∶m2∶m3)=（a223γ223∶a213γ213∶a213γ212），或者S=(γ223-1)γA1A1+(γ213-1)γA2A2+(γ212-1)γA3A3/(γ223-1)γA1+（γ213-1）γA2+（γ212-1）γA3該gyro重心坐標(biāo)公式也是關(guān)于集合{A1，A2，A3}所給出的，其相應(yīng)的gyro坐標(biāo)為(m1∶m2∶m3)=(γ223-1∶γ

12、213-1∶γ212-1).
　　 對于gyro空間中的gyro類似重心，它也有如歐式空間中的一些好的性質(zhì)，這也是我們研究gyro類似重心的意義所在.我們在下邊的性質(zhì)2.2-2.5，要考查歐式空間中的性質(zhì)能否在新的空間中成立或改進(jìn)后得到成立.
　　 性質(zhì)2.2:令S為gyro三角形A1A2A3的gyro類似重心，D1，D2和D3分別為點S到該gyro三角形三個gyro邊，A2A3，A1A3，A2A3，上的垂直投影，即作垂

13、線段到各gyro邊或其延長線上，與gyro邊的交點.那么有下邊式子成立:（γSD1|| SD1||∶γsD2|| SD2||∶γSD3|| SD3||)=(γ23a23∶γ13a13∶γ12a12)(0.1)其中，有關(guān)a12，a13，a23的定義與定理2.1中的相同，我將在論文的正文第二章中詳細(xì)給出.
　　 要想得到性質(zhì)2.2中的結(jié)果，我們需要先考慮下面的性質(zhì)2.3.
　　 性質(zhì)2.3:在Einstein gyro向量空

14、間(Rns，⊕，(⊕))n≥2中，集合{A1，A2，A3}里面的元素為相互獨(dú)立的，構(gòu)成gyro空間上的gyro三角形A1A2A3.令Sx為從gyro三角形頂點A3出發(fā)的gyro類似中線A3F12（兩端點A2和F13之間）上任意一點，D31為Sx到gyro邊A2A3或其延長線上的投影.同樣，我們定義D32為Sx到gyro邊A1A3或其延長線上的投影.我們有下面的關(guān)系式成立，γSxD31||SxD31||γ23a23(0.2)γSxD32|

15、| SxD32||γ13a13當(dāng)然，對于它的其他兩條gyro類似中線也有同樣的結(jié)論.
　　 下面我們開始考慮性質(zhì)2.2逆問題，它的的逆問題是否成立呢？為此我們先考慮性質(zhì)2.3的的逆問題.
　　 性質(zhì)2.4（性質(zhì)2.3的逆問題）:在Einstein gyro向量空間（Rns，⊕，(⊕))n≥2中，集合{A1，A2，A3}里面的元素為相互獨(dú)立的，構(gòu)成gyro空間上的gyro三角形A1A2A3.令Px為gyro三角形A1A2A

16、3內(nèi)部滿足下面方程的任意一點γPxH31|| PxH31||γ23 a23(0.3)γPxH32|| PxH32||γ13a13’其中，H31為點Px到gyro邊A2A3或其延長線上的投影，同樣地，H32為點Px到到gyro邊A1A3或其延長線上的投影.那么，Px必在gyro類似中線A3F12上.
　　 同理，我們可以考慮其它兩條gyro類似中線上的情況，也可以得到同樣結(jié)論:
　　 性質(zhì)2.4’（性質(zhì)2.3的逆問題）:在

17、Einstein gyro向量空間（Rns，⊕，(⊕))n≥2中，集合{A1，A2，A3}里面的元素為相互獨(dú)立的，構(gòu)成gyro空間上的gyro三角形A1A2A3.令Py（Pz）為gyro三角形A1A2A3內(nèi)部滿足下面方程(0.4)((0.5))的任意一點γPyH21|| PyH21||γ23 a23(0.4)γPyH23|| PyH23||γ12a12’γPzH12||PzH12||/γPzH13||PzH13||=γ13a13/γ12

18、a12(0.5)其中，H23(H12)為點Py到到gyro邊A1A2(A1A3)或其延長線上的投影，H21(H13)為點Pz到gyro邊A2A3(A1A2)或其延長線上的投影.那么，Py（Pz）必在gyro類似中線A2F13(A1F23)上.
　　 有了上面性質(zhì)2.4的保證，我們前面對于性質(zhì)2.2的逆問題的思考，可以有相應(yīng)的答案了.
　　 性質(zhì)2.5（性質(zhì)2.2的逆問題）:令{A1，A2，A3}為gyro向量空間(Rns

19、，⊕，(⊕))n≥2中的集合，里面的元素互相獨(dú)立，構(gòu)成gyro向量空間的一個gyro三角形.令P為gyro三角形A1A2A3內(nèi)部的任意一點，Hi，H2和H3分別為P到gyrp三角形的gyro邊A2A3，A1A3，A2A3，上的垂直投影.如果點P滿足下邊式子(γPH1|| PH1||∶γPh2|| PH2||∶γPH3|| PH3||)=(γ23a23∶γ13a13∶γ12a12)(0.6)
　　 那么，P必為該gyro三角形的g

20、yro類似重心.
　　 在第三章中，我們繼續(xù)討論gyro類似重心在M(o)bius gyro向量空間上的gyro重心坐標(biāo)公式.
　　 定理3.1:令A(yù)1A2A3為M(o)bius gyro向量空間(Vs，⊕，(⊕))上的任意一個gyro三角形.它關(guān)于gyro三角形A1A2A3的三個頂點A1，A2，A3的gyro類似重心坐標(biāo)公式為Sm=1/ m1γ2A1A1+m2γ2A2A2+m3γ2A3A3=2⊕(0.7)m1γ2A1+

21、m2γ2A2+m3γ2A3-1/2(m1+m2+m3）其中，m1，m2，m3為M(o)bius gyro向量空間意義下的gyro重心坐標(biāo)，具體可表示為m1=4γ223(γ223-1)m2=4γ213(γ213-1)(0.8)m3=4γ212(γ212-1)上邊三個等式中的gamma因子定義如下，γij=γ(☉)MAi⊕MAj，(0.9)i.j=1，2，3，且i＜j.
　　 第四章，我們將在gyro3維單形上研究gyro類似重心，

22、并考察它存在的條件.研究的過程與二、三兩章類似，我得到下邊的幾個結(jié)果.
　　 首先，我們要考慮什么樣的單形是我們要考慮的，所以需要先考慮下面引理4.1的問題.
　　 引理4.1:在Einstein gyro向量空間（Rns，⊕，(⊕)），n≥3中，若一個gyro3維單形存在gyro類似重心，那么它必滿足下邊的式子
　　 (γ223-1)(γ214-1)=（γ212-1）=(γ224-1)(γ213-1)，或者，a

23、223γ223a214γ214=a212γ212a234γ234=a213γ213a224γ224，其中，各gamma因子的定義在第四章定理證明部分給出.
　　 下面我們來到研究的重點，考慮引理4.1條件下的gyro類似重心的gyro重心坐標(biāo)公式:
　　 定理4.2:令點集{A1，A2，A3，A4}中四個點在Einstein gyro向量空間(Rns，⊕，(⊕))，n≥3上相互獨(dú)立.那么由點集A1，A2，A3，A4中四個

24、元素組成的gyro四面體A1A2A3A4（在滿足引理4.1的條件下）的gyro類似重心有下面的gyro重心坐標(biāo)公式:
　　 S=m1γA1A1+m2γA2A2+m3γA3A3+m4γA4A4/m1γA1+ m2γA2+m3γA3+m4γA4’
　　 其中，(m1∶ m2∶ m3∶ m4)為
　　 a213γ213a224γ224∶a213γ213a214γ214∶a212γ212a214γ214∶a212γ212

25、a213γ213，是gyro類似重心關(guān)于集合{A1，A2，A3，A4}的gyro重心坐標(biāo)，也可以表示為（（γ213-1）（γ224-1）∶(γ123-1)(γ214-1)∶(γ212-1)(γ214-1)∶(γ212-1)(γ213-1))，根據(jù)引理中條件4.1還可以生成其他形式的結(jié)果，但是比值是相同的.
　　 與前面2維gyro單形的研究類似，我們可以將得到的結(jié)果推廣到相應(yīng)的M(o)bius gyro向量空間上:
　　

26、 定理4.3:令A(yù)1A2A3A4為M(o)bius gyro向量空間(Vs，⊕，(⊕))上的一個gyro四面體，滿足條件
　　 γ213γ224（γ213-1）（γ224-1）=γ214γ223（γ214-1）（γ223-1）=γ212γ234(γ212-1）（γ234-1），那么它存在gyro類似重心，且關(guān)于該gyro四面體A1A2A3A4的四個頂點A1，A2，A3，A4的gyro類似重心坐標(biāo)公式為
　　 S=1/2⊕

27、∑4k=1mkγ2AkAk(0.10)/∑4k=1mk（γ2Ak-1/2)'
　　 其中，S是M(o)bius gyro向量空間(Vs，⊕，(⊕))中g(shù)yro四面體A1A2A3A4的gyro類似重心，(m1∶m2∶m3∶m4)為它的gyro重心坐標(biāo)，即m1=16γ223γ224(γ223-1)（γ224-1），m2=16γ213γ224(γ213-1)（γ224-1），m3=16γ212γ224（γ212-1）（γ224-1），