四類波動(dòng)系統(tǒng)的定性分析與數(shù)值算法.pdf

1、非線性系統(tǒng)是描述非線性問(wèn)題的主要模型.在非線性系統(tǒng)中,波動(dòng)系統(tǒng)的理論研究是其中一個(gè)重要內(nèi)容.而波動(dòng)系統(tǒng)理論研究的一個(gè)主要環(huán)節(jié)就是尋求系統(tǒng)的可解條件.這種可解條件的方法研究作為非線性科學(xué)中的前沿課題和熱點(diǎn)問(wèn)題極具挑戰(zhàn)性.目前雖然已經(jīng)提出和發(fā)展了許多判斷可解性的方法,但由于分析波動(dòng)系統(tǒng)沒(méi)有也不可能有統(tǒng)一而普遍適用的方法,因此繼續(xù)尋找一些可行的方法依然是一項(xiàng)極有價(jià)值的工作.
　　本文在對(duì)非線性波動(dòng)系統(tǒng)現(xiàn)有判斷可解條件方法進(jìn)行了較為細(xì)致討

2、論的基礎(chǔ)上,對(duì)四類有物理背景的波動(dòng)系統(tǒng)的可解性和數(shù)值解從定性角度進(jìn)行了深入的研究.結(jié)論如下:
　　1.提出了一種有井深的位勢(shì)井方法與改進(jìn)的凹函數(shù)法相結(jié)合的整體可解性判斷方法.具非線性源和非線性阻尼的耦合基爾霍夫波動(dòng)系統(tǒng)存在多個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)項(xiàng),已有的可解性判斷方法大都是基于較小初值討論的,而基于較大初值的處理方法只適用于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的波動(dòng)系統(tǒng).因此本文提出了針對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的基爾霍夫波動(dòng)系統(tǒng)的可解性判斷方法,并利用基于近似解理論和分析手段相結(jié)合

3、的方法對(duì)系統(tǒng)的整體存在,非整體存在及衰減行為進(jìn)行了不同能量級(jí)別的分析.為研究結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的波動(dòng)系統(tǒng)的可解性條件和數(shù)值求解提供了可行方案;
　　2.利用弱反耗散流微調(diào)能量中的勢(shì)能部分,提出了一種基于記憶性能的耦合基爾霍夫型波動(dòng)系統(tǒng)的可解判斷方法.已有的此類系統(tǒng)的可解判斷方法大都是基于無(wú)記憶項(xiàng)形式展開(kāi)的,系統(tǒng)的輔助泛函在設(shè)定中有明確的表達(dá)形式,而在本文粘彈性波動(dòng)系統(tǒng)中,記憶項(xiàng)具有時(shí)滯性特征,和其它結(jié)構(gòu)項(xiàng)沒(méi)有明顯的關(guān)聯(lián).為了適應(yīng)課題的需要

4、,設(shè)計(jì)該反耗散方法,并對(duì)上述方法進(jìn)行了理論驗(yàn)證,結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的反耗散方法能有效的找到系統(tǒng)的高能爆破條件,并且記憶項(xiàng)在判斷可解性的正則式中起到了好的調(diào)節(jié)作用;
　　3.提出了一種使用變分法,尺度放縮法,改進(jìn)的凹函數(shù)理論相結(jié)合的廣義Bq波動(dòng)系統(tǒng)的可解判斷方法,基于類最優(yōu)理論劃分了能級(jí)空間.已有的Bq波動(dòng)系統(tǒng)的可解判斷方法大都是基于對(duì)源項(xiàng)條件較強(qiáng)限制下實(shí)現(xiàn)的,這種設(shè)計(jì)方法主要是利用解的存在原理給出源項(xiàng)的約束條件,利用非存在性原理處理源

5、項(xiàng),可解性條件并不要求一致.在本文的 Bq波動(dòng)系統(tǒng)中,源項(xiàng)的限制是統(tǒng)一的,不能分開(kāi)來(lái)討論.因此本文提出了針對(duì)統(tǒng)一源項(xiàng)的可解性條件判斷方法,對(duì)一定初值條件下的Bq波動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了最佳條件的處理.將已有結(jié)果與本文結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,表明所設(shè)計(jì)的方法是所有能量水平分類中最優(yōu)的;
　　4.利用有限差分方法建立了一種基于待定系數(shù)的守恒格式,從理論上證明了該守恒格式具有良好的性能.已有的Bq波動(dòng)系統(tǒng)針對(duì)高階色散和非線性源給出離散格式時(shí),不考慮數(shù)值解的

6、理論性質(zhì),這種離散方法主要對(duì)系統(tǒng)各項(xiàng)進(jìn)行差分變換,而在本文Bq波動(dòng)系統(tǒng)中,守恒格式對(duì)各項(xiàng)的處理要求較高.為此本文提出了針對(duì)能量守恒格式的有限差分待定系數(shù)法,對(duì)高階色散和非線性源的差分形式進(jìn)行恰當(dāng)處理,并對(duì)上述方法進(jìn)行了理論分析.結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的有限差分方法能有效的找到復(fù)雜結(jié)構(gòu)項(xiàng)的差分形式,得到較好的收斂階,并有助于建立解的穩(wěn)定性性質(zhì);
　　5.提出了一種基于位勢(shì)井理論與乘子法及凹函數(shù)法相結(jié)合的判斷系統(tǒng)可解性的方法,找到了非線性耗散