若干與橢圓曲線相關(guān)的丟番圖方程.pdf

1、丟番圖方程是數(shù)論中最古老的一個(gè)分支，它研究的是多項(xiàng)式方程或方程組的整數(shù)解或有理數(shù)解.橢圓曲線是代數(shù)幾何的基本研究對(duì)象，它是用來(lái)研究丟番圖方程的一個(gè)強(qiáng)有力的工具.本文主要討論了若干與橢圓曲線相關(guān)的丟番圖方程.
　　首先,我們研究了n元正整數(shù)數(shù)組(x1，…，xn)滿足的兩個(gè)丟番圖方程組x1+…+xn=A，x1…xn=B和∑x lxm=A，x1…xn=B，1≤l≤m≤n其中，n≥3，A,B是由數(shù)組(x1，…，xn)確定的正整數(shù).利用橢圓

2、曲線的理論，證明了對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k，存在無(wú)窮多的本原集合含k個(gè)n元正整數(shù)數(shù)組有相同的和與相同的積，以及存在無(wú)窮多的本原集合含k個(gè)n元正整數(shù)數(shù)組有相同的二階初等對(duì)稱函數(shù)值與相同的積.同時(shí)也介紹了M.Ulas的一些關(guān)于對(duì)稱函數(shù)的丟番圖方程組的結(jié)論.
　　其次,我們考慮了連續(xù)整數(shù)的乘積與丟番圖方程f(x)f（y）=f(z)，其中，f(X)是沒(méi)有重根的次數(shù)大于1的有理系數(shù)多項(xiàng)式.利用Pell方程的理論,證明了當(dāng)f(X)=X(X+b)，b≥

3、3和X3-X時(shí)，方程f(x)f(y)=f(z)有無(wú)窮多非平凡的正整數(shù)解.利用橢圓曲線的理論，證明了當(dāng)f(X)=X3-b2X,b≥1時(shí)，方程f(x)f（y）=f(z)有無(wú)窮多非平凡的正有理數(shù)解.我們給出了當(dāng)f(X)=aX2+2bX+c，a，b，c∈Z時(shí)，方程f(x)f（y）=f(z)有無(wú)窮多整數(shù)解的條件.而當(dāng)f(X)=X3+aX2+4a2+4a2-27/12X+a(2a-9)(2a+9)/108，a∈Q，X(X-1)（X-2）（X-3）和

4、X(X-1/2)（X-1）（X-3/2）時(shí)，方程f(x)f（y）=f(z)有一族有理參數(shù)解.同時(shí)，我們也總結(jié)了當(dāng)f(X)取不同函數(shù)時(shí)關(guān)于方程f(x)f（y）=f(z)的一些結(jié)論以及A.Schinzel和U.Zannier對(duì)方程f1(x1)f2(x2)=f3(x3)的研究，其中fi(xi)，i=1，2，3是多項(xiàng)式函數(shù).
　　接著，我們研究了丟番圖方程f(x)f(y)=f(z)2和f(x)f（y）=f(z2)，其中，f(X)是沒(méi)有重根

5、的次數(shù)大于1的有理系數(shù)多項(xiàng)式.我們推廣了關(guān)于方程f(x)f（y）=f(z)2的一些結(jié)論，解決了M.Ulas的一個(gè)問(wèn)題.同時(shí)也證明了下面的結(jié)論:
　　當(dāng)f(X)=X2-(k2±2l)X+l2，k,l∈Z，k2(k2±4l)≠0時(shí)，如果Pell方程U2-(k2+1)V2=k2(k4±4k2l±4l)有一個(gè)解(U,V)滿足U≡k3(mod2k),V≡0(mod2k),則方程f(x)f(y)=f(z2)有無(wú)窮多非平凡的整數(shù)解.當(dāng)f(X)=