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文檔簡介
1、第 8 講 三角形最值問題之結(jié)合均值定理 三角形最值問題之結(jié)合均值定理 1． （2021?黃岡模擬）已知在 中， ， ， ， 是線段 上的點，則 到 ABC ? 90 ACB ? ? ? 3 BC ? 4 AC ? P AB P， 的距離的乘積的最大值為 AC BC ( )A．3 B．2 C． D．9 2 3【解析】解：以 和 建立直角坐標系， ， ，即 ， ． CB CA 3 BC ? 4 AC ? (0,4) A (3,0)
2、B可得 直線方程為： ． AB 4 3 12 x y ? ?是線段 上的點，設(shè) ， 到 ， 的距離的乘積的最大值即為 的最大值． P AB ( , ) P x y P AC BC xy即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 是取等號． 2 1 1 4 3 4 3 ( ) 3 12 12 2x y xy x y ? ? ? ? ? ? 4 3 x y ?到 ， 的距離的乘積的最大值為 3． P ? AC BC故選： ． A2． （2020 秋?中原區(qū)校級期中）在
3、 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 ABC ? A B C a b c 2 cos 2 c B a b ? ?，若 的面積為 ，則 的最小值為 ABC ? 3 S c ? ab ( )A．56 B．48 C．36 D．28【解析】解：由正弦定理，有 ，又 ， 2 sin sin sina b c R A B C ? ? ? 2 cos 2 c B a b ? ? A可得： ， 2sin cos 2sin sin C B
4、A B ? ? A由 ，得， A B C ? ? ? ? sin sin( ) A B C ? ?則 ，即 ， 2sin cos 2sin( ) sin C B B C B ? ? ? A 2sin cos sin 0 B C B ? ? A又 ， ，得 ， 0 B ? ? ? sin 0 B ? 1 cos 2 C ? ?因為 ，得 ， 0 C ? ? ? 23 C ? ?，2 2 2 2 2 2 2 2 (2 sin ) 9 2 9
5、 ab a b c a b R C a b ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …（當(dāng)且僅當(dāng) 時，取等號） ， 9 ab ? ? a b ?面積為 ， ABC ? ? 1 1 3 9 3 sin 9 2 2 2 4 S ab C ? ? ? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) 時， 的面積的最大值為 ． ? 3 a b ? ? ABC ? 9 34故選： ． D5． （2020 春?資陽期末）在 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ，
6、且 ABC ? A B C a b c 2tantan tanb Bc A B ? ?的外接圓半徑為 2，則 的面積的最大值為 ABC ? ABC ? ( )A． B． C． D． 34343 34 3 3【解析】解： ， ? 2tantan tanb Bc A B ? ?由正弦定理可得 ，可得 ， ? sin 2tansin tan tanB BC A B ? ?2sinsin cossin sin sincos cosBB B
7、A B CA B??由于 ， sin 0 B ?整理可得 ， ? sin 2sin cos C C A ?由于 ， sin 0 C ?，由 ，可得 ， 1 cos 2 A ? ? (0, ) A ? ? 3 A ? ?又 的外接圓半徑為 2， ABC ?，可得 ， 4sin 3a? ? ? 2 3 a ?可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立， ? 2 2 12 2 b c bc bc bc bc ? ? ? ? ? … 2 3 b c ? ?，
8、即三角形 的面積的最大值為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等 1 1 3 sin 12 3 3 2 2 2ABC S bc A ? ? ? ? ? ? ? ABC 3 3 2 3 b c ? ?號成立．故選： ． D6． （2020 秋?丹東期末）在 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 ，若 ABC ? A B C a b c 2 cos 2 c B a b ? ?的面積為 ，則 的最小值為 12 ． ABC ? 32 c ab【解析】解： 中
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