92全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

1、- 1 - 11992 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一、選擇題(每小題 5 分，共 30 分)1．對(duì)于每個(gè)自然數(shù) n，拋物線 y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1 與 x 軸交于 An，Bn 兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( )(A)(B) (C) (D) 199119921992199319911993199319922．已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，

2、1 為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( )(A)(x+ )(y+ )=0 (B)(x? )(y? )=0 1－y2 1－x2 1－y2 1－x2(C)(x+ )(y? )=0 (D)(x? )(y+ )=0 1－y2 1－x2 1－y2 1－x23．設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為 S1，S2，S3，S4，它們的最大值為 S，記 λ=( Si)/S，則 λ 一定滿足4Σi = 1( )(A)2<λ≤4

3、(B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.54．在△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別記為 a，b，c(b?1)，且 ， 都是方程 log x=logb(4x－4)CAsinBsinAb的根，則△ABC( )(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰

4、三角形，也不是直角三角形5．設(shè)復(fù)數(shù) z1，z2 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A，B，且|z1|=4，4z12?2z1z2+z22=0，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB 的面積為( )(A)8(B)4(C)6(D)12 3 3 3 36．設(shè) f(x)是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系 f(10+x)=f(10?x)， f(20?x)=?f(20+x)，則 f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是

5、周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二、填空題(每小題 5 分共 30 分)1．設(shè) x，y，z 是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z 成等比數(shù)列，且 ，， 成等差數(shù)列，則 + 的值是______．1x1y1zxzzx2．在區(qū)間[0，?]中，三角方程 cos7x=cos5x 的解的個(gè)數(shù)是______．3．從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出 k 條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則 k 的最大

6、值是_____．4．設(shè) z1，z2 都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則 arg( )3 的值是______．z2z111O?1?1 xy- 3 - 3第二試一、(35 分) 設(shè) A1A2A3A4 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4 依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心．求證：H1、H2、H3、H4 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置． 二、(35 分)

7、設(shè)集合 Sn={1,2,?,n}．若 X 是 Sn 的子集，把 X 中所有數(shù)的和稱為 X 的“容量”(規(guī)定空集的容量為 0)，若 X 的容量為奇(偶)數(shù)，則稱 X 為的奇(偶)子集．1．求證 Sn 的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等．2．求證：當(dāng) n≥3 時(shí)，Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．3．當(dāng) n≥3 時(shí)，求 Sn 的所有奇子集的容量之和．三、(35 分)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，任取 6