復(fù)變函數(shù)與積分變換(馬柏林)課后的習(xí)題答案

1、習(xí)題一 習(xí)題一1. 用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 a+ib 表示下列復(fù)數(shù). π/ 4 3 5 1 3 ; ; (2 )(4 3 ); 7 1 1i i e i i i i i? ? ? ? ? ? ?①解 i 4π π π 2 2 2 2 e cos isin i i 4 4 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②解： ? ?? ?? ?? ?3 5i

2、1 7i 3 5i 16 13 i 7i 1 1+7i 1 7i 25 25? ? ? ? ? ? ? ? ?③解： ? ?? ? 2 i 4 3i 8 3 4i 6i 5 10i ? ? ? ? ? ? ? ?④解： ? ? 3 1 i 1 3 3 5 = i i i 1 i 2 2 2? ? ? ? ? ? ?2.求下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(z=x+iy)R); ( z a a z a? ? ?3 33 1 3 1 3 ; ; ;

3、 .2 2n i i z i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?① ：∵設(shè) z=x+iy則? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?2 2i i i ii ix a y x a y x y a x a y z az a x y a x a y x a y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ ,? ?2 2 22 2 Re z a x a

4、 yz a x a y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?．? ?2 22 Im z a xyz a x a y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②解： 設(shè) z=x+iy∵? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?3 2 3 2 22 2 2 2 2 23 2 2 3i i i 2 i i2 2 i3 3 iz x y x y x y x y xy x yx x y xy y x y x yx xy

5、x y y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?∴ , ? ?3 3 2 Re 3 z x xy ? ? ? ?3 2 3 Im 3 z x y y ? ?．③解： ∵? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 32 3 2 1 i 3 1 i 3 1 1 3 1 3 3 1 3 3 2 8 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

6、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 8 0i 1 8 ? ? ?∴ , ． 1 i 3 Re 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 i 3 Im 0 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④解： ∵? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 3 2 3 1 3 1 3 3 1 3 3 i 1 i 32 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7、? ? ? ? ? ? ?? ? 1 8 0i 1 8 ? ? ?∴ , ． 1 i 3 Re 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 i 3 Im 0 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤解： ∵ ． ? ?? ?1 , 2 i 2 1 1 i,knkn k k n k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A∴當(dāng) 時(shí)， ， ； 2 n k ? ? ? ? ? Re i 1k n ? ? ? ? Im

8、i 0 n ?當(dāng) 時(shí)， ， 2 1 n k ? ? ? ? Re i 0 n ?． ? ? ? ? Im i 1k n ? ?3.求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)1 2 ; 3; (2 )(3 2 ); . 2i i i i ? ? ? ? ? ?①解： ． 2 i 4 1 5 ? ? ? ? ?2 i 2 i ? ? ? ? ?②解： 3 3 ? ? 3 3 ? ? ?③解： ． ? ?? ? 2 i 3 2i 2 i 3 2i 5 13 6

9、5 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④解： 1 i 1 i 22 2 2? ? ? ?? ? 1 i 1 1 i2 2 2i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4、證明：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，z 才是實(shí)數(shù)． z z ?證明：若 ，設(shè) ， z z ? i z x y ? ?則有 ，從而

10、有 ，即 y=0 i i x y x y ? ? ? ? ? 2 i 0 y ?∴z=x 為實(shí)數(shù)．若 z=x，x∈A，則 ． z x x ? ?解：πi 4 2 2 3 3i= 6 i 6 e 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴? ? ? ?1π 1 2 i 4 4π π 2 π 2 π 4 4 3 3i 6 e 6 cos isin 0,1 2 2k kk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

11、 ? ?∴π 1 1 i 8 4 41π π 6 cos isin 6 e 8 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z．9 1 1 πi 8 4 429 9 6 cos π isin π 6 e 8 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z9.設(shè) . 證明：2πe , 2i n z n ? ? 1 1 0 n z z ? ? ? ? ? ?證明：∵∴ ，即 ．2π i e n z? ? 1 n z ? 1 0 n z

12、? ?∴? ?? ? 1 1 1 0 n z z z ? ? ? ? ? ? ?又∵n≥2． ∴z≠1從而 2 1 1 + 0 n z z z ? ? ? ? ? ?11.設(shè) 是圓周 令 ? { : }, 0, e . i z r r a c r z c? ? ? ? ? ?, : Im 0 z a L zb?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中 .求出 在 a 切于圓周 的關(guān)于 的 ei b ? ? L? ?

13、 ?充分必要條件.解：如圖所示．因?yàn)?={z: =0}表示通過點(diǎn) a 且方 L? Im z ab? ? ? ? ? ? ?向與 b 同向的直線，要使得直線在 a 處與圓相切，則 CA⊥ ．過 C 作直線平行 ，則有∠ L? L?BCD=β，∠ACB=90°故 α-β=90°所以 在 α 處切于圓周 T 的關(guān)于 β 的充要條 L?件是 α-β=90°．12.指出下列各式中點(diǎn) z 所確定的平面圖形，并作出草圖