概率論與隨機(jī)過(guò)程習(xí)題集北郵研一專碩

1、習(xí)題 習(xí)題 2 2.1 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 為常數(shù)，V 服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，求的一維概率密度、均值和相關(guān)函數(shù)。 ( ) ( ) 0, X t Vt b t b = + ∈ ∞ ， ， ))(0,1 N( ) X t解：由 ，則： (0,1 V N ～ ( ) ( ) 0 1 E V D V = = ，則 的均值函數(shù)為： ( ) X t ( ) ( ) ( ) E X t E Vt b tE V b b = + = + = ? ? ? ?(

2、 ) X t 的相關(guān)函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , X2 R t t E X t X t E vt b vt b t t E v b t t b = = + + = + = ? ? ? ? +( ) X t 的一維概率密度為： ( ) ( ) t t F x f x x? = ? ，而函數(shù) ( ) 0, x Vt b t = + ∈ ∞ 在 單調(diào) 則： ( )

3、( ) ( ) ( ) 1 t t t F x F x v f x f x v x t? ? ? = = = ? ? ? i v 又：V 服從正態(tài)分布 ( ) 0,1 N ，則： ( )22 12v f v e π? =所以： ( ) ( )( )2 2 2 2 2 1 1 12 2x b v t t f x f v e e x t t t π π? ? ? = = = ∈ ， R

4、 -end- 2.2 設(shè)隨機(jī)變量 Y 具有概率密度 ( ) f y ，令： ( ) ( ) 0, 0 Yt X t e t Y ? = > > ，求隨機(jī)過(guò)程 的一維概率密度及 ( ) X t ( ) ( ) 1 2 , X EX t R t t ， 。解：由( ) ( ) 0, 0 Yt X t e t Y ? = > > ，則 的均值函數(shù)為： ( ) X t ( ) ( )0Yt yt EX t E e e

5、f y dy=∞ ? ? ? ? = = ? ? ∫( ) X t 的相關(guān)函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 20 , y t t Yt Yt X R t t E X t X t E e e e f y dy=∞ ? + ? ? ? ? = = = ? ? ? ? ? ? ∫( ) X t 的一維概率密度為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ln 0 t t t F x F y y

6、 t f x f y f t x y x tx tx t? ? ? ? ? = = = = ? > ? ? ? ? ? ? ? i ) -end- 2.3 若從 開(kāi)始每隔 0 t = 12 秒拋擲一枚均勻的硬幣作實(shí)驗(yàn)，定義隨機(jī)過(guò)程： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos 2 cos 2 2 2 2 X m t t t t t π π = + = ? ? ? ? i i +則： ( ) 1 1 1 cos 2 1 2 2

7、 X m π ? ? ? ? = + ? ? ? ? ? ? ? ? i i 12 =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos 2 cos 2 cos 1 2 2 2 2 X X t E X t m t t t t t t σ π π π ? ? ? ? ? ? = ? = + ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

8、? ? i i 方差則： ( )22 1 1 1 cos 1 2 4 X σ π ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i 方差 94? = ?-end- 2.4 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程 ( ) ( ) ( ) cos sin X t A t B t ω ω = + ，其中ω 為常數(shù)， , A B 是相互獨(dú)立且服從正態(tài)( 2 0, N ) σ 的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程的均值和相關(guān)函數(shù)。 解：由于 ( 2 , 0,

9、A B N ) σ ～ ，則 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 E A E B D A D B σ = = = = ，則： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin 0 X m t E X t E A t B t t E A t E B ω ω ω ω = = + = + ? ? ? ? ? ? ? ? =( ) X t 的相關(guān)函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

10、( ) ( 1 2 1 2 1 1 2 2 , cos sin cos sin X ) R t t E X t X t E A t B t A t B t ω ω ω ω = = + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于 , A B 是相互獨(dú)立則均值函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , cos cos sin sin cos X ) R

11、 t t t t E A t t E A t t ω ω ω ω σ ω = + = ?-end- 2.5 已知隨機(jī)過(guò)程 的均值函數(shù) ( ) X t ( ) X m t 和協(xié)方差函數(shù) ( ) ( 1 2 , X B t t t ? ， ) 為普通函數(shù)，令：，求隨機(jī)過(guò)程 ( ) ( ) ( ) Y t X t t ? = + ( ) Y t 的均值和協(xié)方差函數(shù)。 解：由 ， ( ) ( ) ( ) Y t X t t ? = + ? (t

12、)為普通函數(shù) 則隨機(jī)過(guò)程 ( ) Y t 的均值函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y X m t E Y t E X t t m t t ? ? = = + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 協(xié)方差函數(shù) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 , Y Y Y B t t E Y t m t Y t m t = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) ( )

13、 ( ) 1 1 2 2 1, X X 2 X E X t m t X t m t B t t = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ?-end- 2.6 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，其中 ( ) ( ) sin X t A t ω = + Θ A ω ， 為常數(shù)，Θ 是在( ) , π π ? 上均勻分布的隨機(jī)變量，令 ，求 ( ) ( ) 2 Y t X t = ( ) ( ) , , Y XY R t t R t t τ τ + + 和