專題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的解答(教師版)

1、專題 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的解答1.本專題在高考中的地位導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出2．本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的

2、優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．熱點(diǎn)一 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而函數(shù)的性質(zhì)又是高考命題的熱點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的適用性．例 1(2012·高考北京卷)已知函數(shù) f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線 y＝f(x)與曲線 y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求 a，b 的值；(2)當(dāng) a2＝4b 時(shí)，求函

3、數(shù) f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值．【審題】 (1)在交點(diǎn)(1，c)處有公共切線，隱含(1，c)為切點(diǎn)，可考慮 f′(1)與g′(1)．f(1)與 g(1)的關(guān)系．(2)構(gòu)造函數(shù) h(x)＝f(x)＋g(x)，求 h′(x)＞0，h′(x)＜0 的 x 的范圍，繼而求(－∞，－1]上的最大值．【轉(zhuǎn)化】 (1)中題意轉(zhuǎn)化為Error!.(2)中轉(zhuǎn)化為求 h′(x)＞0，h′(x)＜0 的解由極值求最值．

4、【解】 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因?yàn)榍€ y＝f(x)與曲線 y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以 f(1)＝g(1)，且 f′(1)＝g′(1)．即 a＋1＝1＋b，且 2a＝3＋b.解得 a＝3，b＝3.(2)記 h(x)＝f(x)＋g(x)，當(dāng) b＝ a2 時(shí)，14h(x)＝x3＋ax2＋ a2x＋1，14h′(x)＝3x2＋2ax＋ a2.14性、極值、最值及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合不等式

5、的性質(zhì)來解決．例 2(2012·高考遼寧卷)設(shè) f(x)＝ln x＋ －1，證明： x(1)當(dāng) x＞1 時(shí)，f(x)＜ (x－1)；32(2)當(dāng) 1＜x＜3 時(shí)，f(x)＜ .9?x－1?x＋5【審題】 本題涉及 f(x)的不等式，可以構(gòu)造形如 f(x)－φ(x)的函數(shù)來證明．【轉(zhuǎn)化】 (1)當(dāng) x＞1，所證 f(x)＜ (x－1)轉(zhuǎn)化為 f(x)－ (x－1)＜0 證明．3232(2)當(dāng) 1＜x＜3，f(x)＜ 轉(zhuǎn)化為 f(

6、x)－ ＜0，證明．9?x－1?x＋59?x－1?x＋5【證明】 (1)法一：記 g(x)＝ln x＋ －1－ (x－1)，則當(dāng) x＞1 時(shí)， x 32g′(x)＝ ＋ － ＜0.1x12 x32又 g(1)＝0，所以有 g(x)＜0，即 f(x)＜ (x－1)．32法二：當(dāng) x＞1 時(shí)，2 ＜x＋1，故 ＜ ＋ .① x x x212令 k(x)＝ln x－x＋1，則 k(1)＝0，k′(x)＝ －1＜0，1x故 k(x)＜0，即 l

7、n x＜x－1.②由①②得，當(dāng) x＞1 時(shí)，f(x)＜ (x－1)．32(2)法一：記 h(x)＝f(x)－ ，由(1)得9?x－1?x＋5h′(x)＝ ＋ －1x12 x54?x＋5?2＝ － ＜ － ＝ .2＋ x2x54?x＋5?2x＋54x54?x＋5?2?x＋5?3－216x4x?x＋5?2令 G(x)＝(x＋5)3－216x，則當(dāng) 1＜x＜3 時(shí)，G′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此 G(x)在(1,3)內(nèi)是減函數(shù)．