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1、專題 專題 08 08 平面解析幾何(解答題) 平面解析幾何(解答題)1. 【2019 年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知拋物線 C:y2=3x 的焦點為 F,斜率為32 的直線 l 與 C 的交點為 A,B,與 x 軸的交點為 P.(1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程;(2)若 3 AP PB ???? ? ??? ?,求|AB|.【答案】 (1) ;(2) .3 72 8 y x ? ? 4 133【解析】設(shè)直線 .? ? ? ?
2、 1 1 2 23 : , , , , 2 l y x t A x y B x y ? ?(1)由題設(shè)得 ,故 ,由題設(shè)可得 .3 ,0 4 F ? ?? ? ? ?1 23 | | | | 2 AF BF x x ? ? ? ? 1 252 x x ? ?由 ,可得 ,則 .232 3y x ty x? ? ? ? ? ? ? ?2 2 9 12( 1) 4 0 x t x t ? ? ? ? 1 212( 1)9t x x ? ?
3、? ?從而 ,得 .12( 1) 59 2t ? ? ? 78 t ? ?所以 的方程為 . l3 72 8 y x ? ?(2)由 可得 . 3 AP PB ???? ? ??? ?1 2 3 y y ? ?由 ,可得 .232 3y x ty x? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 0 y y t ? ? ?所以 .從而 ,故 . 1 2 2 y y ? ? 2 2 3 2 y y ? ? ? 2 1 1, 3 y y ? ?
4、?代入 的方程得 . C1 21 3, 3 x x ? ?故 .4 13 | | 3 AB ?設(shè) ,則 和 是方程①的解,故 ,由此得 . ( , ) G G G x y u ? G x22(3 2)2Gu k x k? ? ?32 2Guk y k ? ?從而直線 的斜率為 . PG32221 2 (3 2)2uk uk ku k k u k? ? ? ? ? ? ?所以 ,即 是直角三角形. PQ PG ? PQG △(ii)由(i
5、)得 , ,所以△PQG 的面積2 | | 2 1 PQ u k ? ?222 1 | | 2uk k PG k? ? ?.22 221 8( ) 1 8 (1 ) | | 1 2 (1 2 )(2 ) 1 2( )k k k k S PQ PG k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?‖設(shè) t=k+ ,則由 k>0 得 t≥2,當(dāng)且僅當(dāng) k=1 時取等號.1k因為 在[2,+∞)單調(diào)遞減,所以當(dāng) t=2,即 k=1 時,
6、S 取得最大值,最大值為 .281 2t S t ? ?169因此,△PQG 面積的最大值為 .169【名師點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系,判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題,考查了數(shù)學(xué)運算能力,考查了求函數(shù)最大值問題.3.【2019 年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線 C:y= ,D 為直線 y= 上的動點,過 D 作 C 的兩條切線,22x 12 ?切點分別為 A,B.(1)證明:直線 AB 過定點:(
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