2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5單元 5.2 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 理 新人教b版

1、(理解等比數(shù)列的概念/掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式/與前n項(xiàng)和公式/了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系),5.2 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,1．等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ；公比通常用字母q表示(q≠0)，即： ＝q(n≥2，n∈N)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1；an＝am

2、3;qn－m(a1·q≠0) 提示：等比數(shù)列從定義到通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和形式都可以看作是等差數(shù)列的運(yùn)算升級(jí)．,同一個(gè),公比,3．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng)． 4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式提示：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)使用的是“錯(cuò)位相減法”，在使用公式時(shí)要判斷公比q≠1，或q＝1.思考：是否存在既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列？提示：存在，可

3、以證明既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列一定是非零常數(shù)列．,1．關(guān)于數(shù)列：3,9…，2 187，以下結(jié)論正確的是(　　)A．此數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列B．此數(shù)列可能是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列D．此數(shù)列可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列解析：由前2項(xiàng)可設(shè)通項(xiàng)an＝6n－3和an＝3n，代入檢驗(yàn)即可．答案：D,2．“b＝ ”是“a、b、c成等比數(shù)列”的 (　　)

4、A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：D,3．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝ ，S3＝ ，則q＝________. 即2q2－q－1＝0.整理得(2q＋1)(q－1)＝0，∴q＝－ 或q＝1.答案：－ 或1,4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為_(kāi)___

5、____．解析：根據(jù)已知條件4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1·q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，整理得：3q2－q＝0，又q≠0.∴q＝ .答案：,1. 對(duì)于等比數(shù)列的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，可類(lèi)比等差數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行，在解方程組的過(guò)程中要注意“相除”消元的方法，同時(shí)要注意整體代入(換元)思想方法的應(yīng)用．2．在涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要注意對(duì)公比q是否等于1的判斷和討論．,【例1】 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n

6、項(xiàng)和為Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通項(xiàng)公式．解答：解法一：在等比數(shù)列{an}中，由S4＝1，S8＝17，則q≠1，因此②÷①得q4＋1＝17，則q4＝16，∴q＝2，或q＝－2，由q＝2代入①得a1＝ ，由q＝－2代入①得a1＝－ ，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ ·2n－1或an＝(－ )·(－2)n－1.,解法二：q4＝

7、 ＝16，則q＝2，或q＝－2.又S4＝1，當(dāng)q＝2時(shí)，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝ ，因此an＝a1qn－1＝ ；當(dāng)q＝－2時(shí)，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝－ .因此an＝a1qn－1＝－,變式1. 已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列． (1)求q的值； (2)設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和

8、為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由．解答：(1)∵{an}是公比為q的等比數(shù)列，2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，則2q2－q－1＝0，即(2q＋1)(q－1)＝0，因此q＝1或q＝－ . (2)當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝2＋(n－1)＝n＋1.Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝,當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＞bn；當(dāng)n＝10時(shí)，Sn＝bn；當(dāng)2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn；當(dāng)n≥11時(shí)，Sn＜bn.,

9、1. 對(duì)于等比數(shù)列的相關(guān)證明可類(lèi)比等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題．2．要證一個(gè)數(shù)列不構(gòu)成等比，只需證明存在m、n∈N*(m≠n)，使得 即可．,【例2】(1)已知數(shù)列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列{cn＋1－Pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)P；(2)設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．證明：(1)因?yàn)閧cn＋1－P

10、cn}是等比數(shù)列，故有(cn＋1－Pcn)2＝(cn＋2－Pcn＋1)(cn－Pcn－1)，將cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－P(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－P(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－P(2n－1＋3n－1)]，即[(2－P)2n＋(3－P)3n]2＝[(2－P)2n＋1＋(3－P)3n＋1]·[(2－P)2n－1＋(3－P)·3n－1]，,

11、整理得， (2－P)(3－P)·2n·3n＝0，解得，P＝2或P＝3.(2)證明：設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q，p≠q，cn＝an＋bn，為證{cn}不是等比數(shù)列只需證 ≠c1·c3，事實(shí)上， ＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，c1·c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．由于p≠q，p2＋q2＞2pq

12、，又a1，b1均不為零，因此 ≠c1·c3，故{cn}不是等比數(shù)列.,對(duì)于遞推關(guān)系形如 的求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，可利用待定系數(shù)法an＋1－λ＝c(an－λ)，求出λ＝ ，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決．,【例3】已知在數(shù)列{an}中a1＝1，求滿(mǎn)足下列條件的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. (1)an＋1＝3an＋2；(2)an＋1＝

13、an＋2n＋1. 解答：(1)由an＋1－λ＝3(an－λ)與an＋1＝3an＋2，比較可得λ＝－1，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即 ＝3，即{an＋1}構(gòu)成以a1＋1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．∴an＋1＝(a1＋1)3n－1，∴an＝2·3n－1－1，∴Sn＝2· －n＝3n－n－1. (2)由已知an＝an－1＋2n即an－an－1＝2

14、n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋22＋1＝ ＋1＝2n＋1－3，∴Sn＝ －3n＝2n＋2－3n－4.,1．確定等比數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)a1和公比q.2．在等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．3．等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)的思想可用于等

15、比數(shù)列與等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列求和問(wèn)題，即利用錯(cuò)位相消的方法去求數(shù)列的前n項(xiàng)和．,【方法規(guī)律】,等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式是解決等比數(shù)列中的有關(guān)計(jì)算、討論等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)的問(wèn)題的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)．,4．在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對(duì)公比q＝1或q≠1作出判斷；計(jì)算過(guò)程中要注意整體代入的思想方法．5．等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是： (1)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；

16、 (2)若{an}是等比數(shù)列，且an＞0，則{lg an}構(gòu)成等差數(shù)列．,(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1，2，…)．(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bn＝an＋2－ an＋1，記{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，試比較Sn和Tn的大小.,解答：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＞0，若q＝1，則Sn＝na1＞0.若q≠1，則Sn＝ ＞0，即

17、 ＞0.等價(jià)于解得－1＜q＜1或q＞1且q≠0.因此滿(mǎn)足條件q的范圍是(－1,0)∪(0，＋∞).6分,【答題模板】,(2)∵bn＝an＋2－ an＋1＝(q2－ q)an，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(q2－ q)(a1＋a2＋…＋an)＝(q2－ q)·Sn，Tn－Sn＝(q2－ q－1)Sn＝(q＋ )(q－2)Sn當(dāng)－1＜q＜－ ，或q＞2時(shí)，Tn＞Sn；

18、當(dāng)q＝－ ，或q＝2時(shí)，Tn＝Sn；當(dāng)－ ＜q＜0或0＜q＜2時(shí)，Tn＜Sn.12分,1. 第(1)問(wèn)是解決不等式Sn＞0(n∈N*)恒成立，求q的范圍，如果使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要對(duì)q＝1，q≠1進(jìn)行討論，既便是能解決對(duì)公比q的討論問(wèn)題，解不等式組 也會(huì)給考生帶來(lái)不小的困難．事實(shí)上可證明在等比數(shù)列中，前