山東建筑大學(xué)概率論作業(yè)及答案

1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)4（§2.1～§2.2）,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)5（§2.3）,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)6（§2.8～§2.11）,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)8（§2.9）,第二章自測(cè)題,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)7（§2.6~2.8）,2,2. 同時(shí)擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，則至多有1枚硬幣正面向上的概率為_(kāi)__________3.,一、填空題 1. 常數(shù)

2、 時(shí)， （其中 ）可以作為離散型隨機(jī)變量的概率分布.,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)4（§2.1～§2.2）,，則,．,3,二、選擇題 1. 設(shè)隨機(jī)變量,（ 是任意實(shí)數(shù)）(B),是離散型的，則( )可以成為,的分布律,(C),(D),(A),2. 設(shè) 與 分

3、別為隨機(jī)變量 與 的分布函數(shù)，為使,是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取,； （B）,（C）,； （D）,（A）,（A）,4,三、計(jì)算題1. 進(jìn)行某種試驗(yàn)，已知試驗(yàn)成功的概率為3/4，失敗的概率為1/4，以 表示首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫(xiě)出 的分布律，并計(jì)算出 取偶數(shù)的概率.,取偶數(shù)的概率為,解,X 服從幾何分布,5,2．將一顆骰子拋擲兩次，以 表示兩次所得點(diǎn)

4、數(shù)之和，以,表示兩次中得到的較小的點(diǎn)數(shù)，試分別求 和,的分布律.,解,6,3.一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品。安裝機(jī)器時(shí)從中任取1個(gè)。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的概率分布和分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖像。,解,設(shè)在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)為 X,7,4. 20個(gè)產(chǎn)品中有4個(gè)次品，（1）不放回抽樣，抽取6個(gè)產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；（2）放回抽樣，抽取6個(gè)產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)

5、的概率分布。,解,(1)不放回抽樣，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示樣品中次品數(shù),(2)放回抽樣，設(shè)隨機(jī)變量 Y 表示樣品中次品數(shù),8,5. 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率0.30需進(jìn)一步調(diào)試后以概率0.80可以出廠，以概率0.20定為不合格不能出廠?，F(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 （ ）臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立），求 (1) 全部能出廠的概率 ； (2)其中恰

6、好有兩件不能出廠的概率 ； (3)其中至少有兩件不能出廠的概率 .,解,出廠率,出廠產(chǎn)品數(shù),(3)至少有兩件不能出廠的概率.,(1) 全部能出廠的概率,(2)恰好有兩件不能出廠的概率,9,6. 設(shè)離散型隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為,求,的分布列。,10,7．已知隨機(jī)變量 只能取-1，0，1，2四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為,1）確定常數(shù),2）計(jì)算,3）求,的分布函數(shù),,11,的密度函數(shù)為,概率論與數(shù)理

7、統(tǒng)計(jì)作業(yè)5（§2.3）,一、填空題1.設(shè)隨機(jī)變量,的密度函數(shù),，則,；,2. 設(shè)隨機(jī)變量,則,________．,.,12,以 表示對(duì) 的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件,3. 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為,出現(xiàn)的次數(shù)，則,.,13,二. 函數(shù),可否是連續(xù)隨機(jī)變量,的分布函數(shù)，如果,的可能值充滿(mǎn)區(qū)間：,（2）,（1）,解,（1）,所以 函數(shù),不可能是連續(xù)隨機(jī)變量,的分布函數(shù),（2）,且函數(shù)單調(diào)遞增,所以 函數(shù),可

8、以是連續(xù)隨機(jī)變量,的分布函數(shù),14,1. 隨機(jī)變量,的概率密度為,求：（1）系數(shù)A ；（2）隨機(jī)變量 落在區(qū)間,內(nèi)的概率；（3）隨機(jī)變量 的分布函數(shù)。,解,（1）,（2）,,三、計(jì)算題,（3）,15,解,2. （拉普拉斯分布）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求（1）系數(shù) A；（2）X 落在區(qū)間(0,1)內(nèi)的概率；,（3） X 的分布函數(shù)。,（1）,（2）,（3）,,16,3. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為:,(1) 求系數(shù)

9、A;,(3) 概率密度函數(shù),(2),4) 四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次恰好在區(qū)間 內(nèi)取值的概率.,四次獨(dú)立試驗(yàn)中，X 恰好在區(qū)間 內(nèi)取值的次數(shù),17,4．設(shè) , 求方程 有實(shí)根的概率.,所求概率為,解,18,5. 某種元件的壽命 (以小時(shí)計(jì))的概率密度函數(shù),某儀器裝有3

10、只這種元件，問(wèn)儀器在使用的最初1500小時(shí)內(nèi)沒(méi)有一只元件損壞和只有一只元件損壞的概率各是多少？,一個(gè)元件使用1500小時(shí)的概率為,解,儀器中3只元件損壞的個(gè)數(shù),儀器在使用的最初1500小時(shí)內(nèi)沒(méi)有一只元件損壞的概率,儀器在使用的最初1500小時(shí)內(nèi)只有一只元件損壞的概率,19,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)6（§2.4～§2.5）,一、填空題 1. 隨機(jī)變量,的概率分布為,則,的概率分布為,的概率密度為,，若,，則,的密度函

11、數(shù)為 ．,的分布函數(shù)為,，則,的分布函數(shù),為 ．,2. 隨機(jī)變量,3. 設(shè),20,解,1. 設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布B（3，0.4 ），求,的概率分布：,二、計(jì)算題,的概率分布,21,求隨機(jī)變量 的分布律.,2．已知隨機(jī)變量 的分布律為,22,3. 設(shè)隨機(jī)變量,的概率密度為,求隨機(jī)變量函數(shù),的概率密

12、度。,解,23,4. 設(shè)隨機(jī)變量X服從[0，2]上的均勻分布，求：,的概率密度函數(shù)。,解,24,5. 一批產(chǎn)品中有 a 件合格品與 b 件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取兩次，方式為：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。設(shè)隨機(jī)變量,及,寫(xiě)出上述兩種情況下二維隨機(jī)變量(X,Y),的概率分布.,分別表示第一次及第二次取出的次品數(shù)，,（1）放回抽樣,解,（2）不放回抽樣,25,6. 盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，

13、以,表示取到黑球的只數(shù)，以,表示取到紅球的只數(shù)，求,的聯(lián)合分布律.,,解,26,7. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）在矩形域,上服從均勻分布，求（X, Y）,的概率密度。,解,（X, Y）的概率密度,27,試求： (1)常數(shù) ；(2) ；(3),8. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù),(4) 分布函數(shù),解,(1),(2),(3),,,,,,28,(4),,29,概率論與數(shù)理

14、統(tǒng)計(jì)作業(yè)7（§2.6~2.8）,1. 隨機(jī)地?cái)S一顆骰子兩次，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), Y 表示兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大值，求(X, Y)的概率分布及Y的邊緣分布。,,,,,,,,,,,,,,,,,,Y,X,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1/36,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/36,1/36,1/36,1/36,1/36,2/36,1/36,1/36,1/36,1

15、/36,1/36,1/36,3/36,1/36,1/36,4/36,1/36,1/36,5/36,6/36,解,30,試問(wèn) 取何值時(shí)， ， 才相互獨(dú)立。,,2. 已知隨機(jī)向量（,，,）的聯(lián)合分布為,,,經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí)，X，Y獨(dú)立.,31,3. 設(shè) (X,Y）的分布函數(shù)為：,（1）確定常數(shù)A, B, C；,（2）求(X,Y）的概率密度；,（3）求邊緣分布函數(shù)及邊緣

16、概率密度. （4） X與Y是否獨(dú)立?,解,（1）,對(duì)任意的x與y，有,32,（2）,X與Y的邊緣密度函數(shù)為：,X的邊緣分布：,（3 ）,Y的邊緣分布函數(shù)為：,X與Y獨(dú)立,（4 ）,33,4. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù),試求：(1) 常數(shù) ；(2) 與 的邊緣密度函數(shù)；,(3) 與 是否相互獨(dú)立？,解,（1）,,其它,（2）,34,4. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合

17、密度函數(shù),試求：(1) 常數(shù) ；(2) 與 的邊緣密度函數(shù)；,(3) 與 是否相互獨(dú)立？,解,（2）,,其它,X與Y不獨(dú)立,（3）,35,5. 設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為,，求,(X,Y) 關(guān)于X的邊緣密度為,當(dāng)|x|<1時(shí),有,即 當(dāng)|x|<1時(shí),有,解,36,6. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù),求條件密度函數(shù)

18、 ，,解,,,,,,,37,求條件密度函數(shù) ，,6. 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù),解,,,,,,,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,38,求 的聯(lián)合密度函數(shù) 以及條件密度函數(shù),7. 設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為,,和,解,當(dāng) 時(shí)，

19、,當(dāng) 時(shí)，,39,(4) 的分布律.,(3) 和 的分布律；,1. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)8（§2.9）,試求：(1),(2) 在 的條件下，,,的分布律；,解,(1),(2) 在 的條件下，

20、 的分布律；,40,(4) 的分布律.,(3) 和 的分布律；,1. 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為,試求：(1),(2) 在 的條件下，,,的分布律；,解,(3),(4),41,且相應(yīng)的概率依次為 ， ， ， ， 列出(X , Y)的概

21、率分布表, 并 求出的分布律,2. (X , Y)只取下列數(shù)組中的值：,42,3. 電子儀器由六個(gè)相互獨(dú)立的部件,設(shè)各個(gè)部件的使用壽命,服從相同的指數(shù)分布,求儀器使用壽命的概率密度。,,組成，如圖，,解,各部件的使用壽命,的分布函數(shù),先求三個(gè)串聯(lián)組的壽命,的分布函數(shù),的分布函數(shù),43,再求儀器使用壽命Z 的分布函數(shù),,Z的分布函數(shù),進(jìn)而,44,第二章自測(cè)題,、填空題1. 設(shè)離散型隨機(jī)變量,分布律為,

22、則A=______________2. 已知隨機(jī)變量X的密度為,,且,,則,________,3. 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為 ，則該射手的命中率為_(kāi)________,4. 若隨機(jī)變量,在（1，6）上服從均勻分布，則方程,有實(shí)根的概率是_________,________,45,二、 選擇題1. 設(shè)X的密度函數(shù)為,，分布函數(shù)為,，且,那么對(duì)任意給定的,都有,B）,C）,D）,A）,2.

23、下列函數(shù)中，可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)是 A）,B）,C）,D）,，其中,46,3. 假設(shè)隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為,，密度函數(shù)為,若,與,有相同的分布函數(shù)，則下列各式中正確的是,; B),C),; D),A）,47,三、 解答題1、從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所求抽

24、取次數(shù)的分布率。（1）放回 （2）不放回,（1）設(shè)隨機(jī)變量X是取球次數(shù)，,解,（2）設(shè)隨機(jī)變量Y 是取球次數(shù)，,因此，所求概率分布為：,48,（1）,（2）,,（3）,解,49,3、 對(duì)球的直徑作測(cè)量，設(shè)其值均勻地分布在[,]內(nèi)。,求體積的密度函數(shù)。,解,,,其它,50,4、設(shè)在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)成功概率為0.5，問(wèn)需要進(jìn)行多少次實(shí)驗(yàn)，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。,解,設(shè)需要進(jìn)行 n 次實(shí)驗(yàn),51,5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量