2010屆高三數(shù)學理第二輪復習學案學案11三角變換與解三角形

1、1.同角三角函數(shù)的基本關系式,正弦、余弦、正切、 余切的誘導公式.2.兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、半角 的三角函數(shù)公式.3.通過簡單的三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的化 簡、求值與證明.4.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.5.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一 些與測量和幾何計算有關的實際問題.,學案11 三角變換與解三角形,1.(2009·江西)若函數(shù)

2、 則f(x)的最大值為 ( ) A.1 B.2 C. D.解析 當x= 時,函數(shù)取得最大值為2.,B,2.(2009·廣東)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分 別為a,b,c,若a=c= 且∠A=75°,則b等于 ( ) A

3、.2 B. C. D.解析 因sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°= 由a=c= 可知,∠C=75°, 所以∠B=30°,sin B= . 由正弦定理得,A,3

4、.(2009·全國Ⅱ)已知△ABC中,tan A= ,則 cos A等于 ( ) A. B. C. D. 解析,D,4.(2009·全國Ⅰ)若 則函數(shù)y=tan 2xtan3x 的最大值為____.解析,-8,題型一 已知三角函數(shù)求值【例1】(2009·廣東)

5、已知向量a=( ,-2)與b=(1, )互相垂直,其中 (1)求 的值； 解 (1)a與b互相垂直,則a·b=,【探究拓展】在解有關根據(jù)條件求三角函數(shù)值問題 時，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍,由范圍進 而確定出三角函數(shù)值的符號,還應注意公式的正用與 逆用及變形應用,根據(jù)條件還要注意適當拆分角、拼 角等技巧的應用.,變式訓練1 已知 (1)求sin x的值； 解,,

6、題型二 三角函數(shù)與解三角形【例2】(2009·四川)在△ABC中,A,B為銳角,角A, B,C所對應的邊分別為a,b,c,且cos2A= sinB= (1)求A+B的值； (2)若a-b= 求a,b,c的值. 解 (1)∵A、B為銳角,sin B= ∴cos B= 又cos 2A=1-2sin2A=,∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,【探究拓展】本小題主要考查同角三

7、角函數(shù)間的關 系,兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等 基礎知識及基本運算能力.在求解三角形的面積時， 應注意面積的表達式有幾種不同表達方式，應靈活 選擇.,變式訓練2 在△ABC中,sin(C-A)=1,sin B= (1)求sin A的值； (2)設AC= ,求△ABC的面積.解,(2)如圖所示,由正弦定理得 又sin C=sin(A+B)=sin Aco

8、s B+cos Asin B,題型三 向量與解三角形【例3】(2009·湖南)在△ABC,已知 求角A,B,C的大小. 解　設BC=a,AC=b,AB=c，,【探究拓展】解答這一類問題,首先要保證向量運算 必須正確,否則,反被其累,要很好的掌握正、余弦定 理的應用的條件及靈活變形,方能使問題簡捷解答.,變式訓練3 (2009·江西)在△ABC中,A、B、C所對 的邊分別為a、b

9、、c， (1)求C； (2)若 求a,b,c.解,,題型四 解三角形與實際問題【例4】(2009·海南)如圖,為了解某海域海底構造， 對海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量.已 知AB=50 m,BC=120 m,于A處測得水深AD=80 m,于B 處測得水深BE=200 m,于C處測得水深CF=110 m,求 ∠DEF的余弦值.,解 作DM∥AC交BE于N,交CF于M.

10、 在△DEF中,由余弦定理得【探究拓展】對幾何中的計算問題,往往通過正、余 弦定理把幾何問題轉化成三角函數(shù)問題,再通過解三 角函數(shù)達到求解三角形問題的目的.,變式訓練4 如圖所示,扇形AOB,圓 心角∠AOB=60°,半徑OA=2,在弧 AB上有一點P,過點P做平行于OB 的直線交OA于點C,設∠AOP= 求△COP面積的最大值及此時 的值.解 因為∠AOB=60°且CP

11、∥OB,所以∠OCP=120°, 則在△OCP中， OP2=OC2+CP2-2·OC·CP·cos 120° =OC2+CP2+OC·CP， 又因OC2+CP2≥2OC·CP,所以OP2≥3OC·CP,,又OP=OA=2,即OC·CP≤ 所以S△COP= OC·CP·sin 120° = OC

12、83;CP≤ 即(S△COP)max= 此時OC=CP， 又∠OCP=120°,所以 =∠AOP=30°.,【考題再現(xiàn)】 (2009·山東)設函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期； (2)設A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角,若 且C為銳角,求sin A.,【解題示范】

13、 f(x)取得最大值,[f(x)]最大值= f(x)的最小正周期 故函數(shù)f(x)的最大值為 最小正周期為  6分,因此sin A=sin[ -(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,1.解三角形常見類型及解法:(1)已知一邊和兩角，用 正弦定理求解,在有解時只有一解;(2)已知兩邊和夾 角,用余弦定理或正弦定理求解,在有解時只有一解; (3)已知

14、三邊,用余弦定理求解，在有解時只有一解; (4)已知兩邊和其中一邊的對角，用余弦定理或正弦 定理求解,可有兩解、一解或無解.2.應用正、余弦定理解斜三角形應用問題的方法步 驟:(1)分析:理解題意,分清已知與待求,并畫出示意 簡圖;(2)建模：根據(jù)條件與所求的目標,把已知量與 待求量盡量集中在有關三角形中,建立解斜三角形的,數(shù)學模型;(3)求解:利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形,求得數(shù)學模型的解；(4)檢驗:檢驗上述

15、所 求解是否有實際意義，進而得出實際問題的解.3.在△ABC中常用關系：(1)a＞b＞c A＞B＞C sin A＞sin B＞sin C;(2)A、B、C成等差數(shù)列 B=60°;(3)2b=a+c或b2=a·c 0°＜B≤60°.,一、選擇題1.函數(shù)f(x)=sin2x+ sin xcos x在區(qū)間 上的最 大值是

16、 ( ) A.1 B. C. D.解析,C,2.(2009·遼寧)已知 等于 ( ) A. B. C. D. 解析,D,3.已知

17、銳角三角形的邊長分別是2,3,x,則x的取值范 圍是 ( ) A.1＜x＜5　　　　　　　B. C. 　　　　　　　　　　D. 解析?、偃?是最大邊,則32＜x2+22,即　＜x≤3, ②若x是最大邊,則x2<32+22,即3≤x＜　 . 由上可知,B,4.已知a、b、c是△ABC的三條對應邊,若滿足(a+b+c) ·(a+b-c)

18、=3ab,且sin A=2sin Bcos C,那么△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形解析 因為(a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab, 則 所以∠C=60°, 又sinA=2sin B

19、cos C,則sin A=sin B,即∠A=∠B. ∴△ABC為等邊三角形.,D,5.在△ABC中,若(sin A+sin B):(sin B+sin C): (sin C+sin A)=4:5:6,則∠C的值為 ( ) A. B. C. D. 解析 由題意可知:(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6, 則a:b:c=5:3:7,令a=5k,b=3k,c=7k

20、 (k＞0),,C,6.在△ABC中,若有一個內(nèi)角不小于120°,則最長邊 與最短邊之比的最小值是 ( ) A. B. C.2 D. 解析 設∠C≥120°,則c為最大邊,設a為最小邊， 則A≤B,所以A+B=180°-C,∴A∈(0, ],,B,二、填空題7.(2009·湖南)在銳角△ABC中,B

21、C=1,B=2A,則 的值等于____,AC的取值范圍為___________.解析 由正弦定理:,答案 28.在△ABC中,∠C=60°,a、b、c分別為A、B、C的對 邊，則 =_____.解析 由余弦定理可知:a2+b2=c2+ab,,1,9.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對于區(qū)間D上 任意的x1,x2,…,xn,都有: 現(xiàn)已知y=sin x

22、在[0, ]上是凸 函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值 是____.解析 由題意可知： 所以sin A+sin B+sin C的最大值是,10.在△ABC中，AC=2BC,若AB=3,則△ABC的最大面 積為____.解析 如圖,作CD⊥AB或其延長線于D， 設BC=m,CD=h,BD=t, 則4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,∴m2=2t+3, 當且僅當t=

23、1時,(S△ABC)max=3.,3,三、解答題11.(2009·全國Ⅱ)設△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長 分別為a、b、c,cos(A-C)+cos B= b2=ac,求B.解 由cos(A-C)+cos B= 得cos(A-C)-cos(A+C)= cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C- sin Asin C)= sin Asin C= 又由b2=ac及正弦定理得si

24、n2B=sin Asin C, 故sin2B= sin B= 或sin B= (舍去), 于是B= 或B= 又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以B=,12.(2009·江西)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分 別為a,b,c.且 sin(B-A)=cos C. (1)求A,C； (2)若S△ABC= 求a,c.解 (1)因為 所以sin C