解析幾何--交點(diǎn)軌跡求解方法

1、解析幾何A1，A2是橢圓x^29y^4=1長軸兩端點(diǎn)P1P2是垂直于A1A2的弦的兩端點(diǎn)求A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡2008年二輪復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)方法講解：5、交軌法一般用于求二動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程例1.設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為()A.B.

2、C.D.解析：設(shè)交點(diǎn)P(xy）A1(－30)A2(30)P1(x0y0)P2(x0－y0)∵A1、P1、P共線，∴∵A2、P2、P共線，∴解得x0=答案：C例2.如右圖，給出定點(diǎn)A(a，0)(a＞0)和直線l：x＝－1B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于C求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系依題意，記B(－1，b)(b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則有0≤x＜a，由O

3、C平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有將②式代入①式得整理得y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0，若y≠0，則(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；若y＝0，則b=0，∠AOB＝π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)(i)當(dāng)a＝1時(shí)，軌跡方程化為y2＝x(0≤x＜1)③此

4、時(shí)，方程③表示拋物線弧段；(ii)當(dāng)a≠1時(shí)，軌跡方程為所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程④表示橢圓弧段；當(dāng)a＞1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段例3.已知橢圓=1(a＞b＞0)點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；.解：(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

5、又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0y0）Q(x1y1)F1(－c0)F2(c0).|F1Q|=|F2P||PQ|=|F1P||PF2|=2a則(x1c)2y12=(2a)2.3a^2=7a^2=4橢圓方程為：x^24y^2=1這道題我做2種方法，有2種解，是怎么回事？(1)可知a=2b設(shè)m(acosθ，bsinθ)則m(2bcosθbsinθ)|MP|^2=(2bcosθ)^2(32bsin

6、θ)^23b^2[(sinθ1)2b]^24b^294≤7當(dāng)sinθ1=0時(shí)，原式得最大值4b94=7b=198問題補(bǔ)充：問題補(bǔ)充：從橢圓從橢圓x^2a^2y^2b^2=1的右焦點(diǎn)向它的動(dòng)切線引垂線的右焦點(diǎn)向它的動(dòng)切線引垂線求垂足的軌跡方程求垂足的軌跡方程.設(shè)切點(diǎn)為Q(acosθbsinθ)則橢圓切線QP為(acosθ)xa^2(bsinθ)yb^2=1→(bcosθ)x(asinθ)y=ab……(1)過右焦點(diǎn)F2(c0)垂直于切線PQ

7、的直線F2P為(asinθ)x(bcosθ)y=acsinθ……(2)顯然垂足P滿足(1)、(2).由(1)^2(2)^2得(x^2y^2)[(asinθ)^2(bcosθ)^2]=a^2[b^2(csinθ)^2]=a^2[b^2(a^2b^2)(sinθ)^2]=a^[(bcosθ)^2(asinθ)^2]注意到(bcosθ)^2(asinθ)^2不為0∴x^2y^2=a^2即垂足P的軌跡方程:x^2y^2=a^2.用定義法好像比這