機燃油的最優(yōu)控制問題及其變分求解

1、1摘要：隨著科技的進步，人們生活水平的提高，出行方式的便捷，基于效率問題的考慮，越來越多的人在旅游、出差、回家探訪等諸多出行問題上，越來越多的將乘坐飛機作為首選的出行方式。然而近年來，燃油價格不斷上漲，各航空公司為了爭奪市場，在確保安全的情況下，許多航空公司為了降低燃油成本，使用最省油的航線、飛行高度和飛行速度。這樣節(jié)省了部分能源，降低了運營成本。最優(yōu)控制是從大量的實際問題中提煉出來的，它尤其與航天航空的指導、導航和控制技術(shù)密不可分。在

2、系統(tǒng)工程中，我們通常是給出數(shù)值模型，對最優(yōu)解做出估計，運用變分方法將問題轉(zhuǎn)化，證明解的存在的唯一性，再把得到的理論應(yīng)用到實際當中去，這有著極其重要的意義而且這將是以后最優(yōu)控制中越來越被人們關(guān)注的問題。在本文中我們介紹了函數(shù)極值問題、泛函極值問題和最優(yōu)控制問題，給出極值點與最優(yōu)控制的必要條件，闡述了最優(yōu)控制問題的新進展及他們之間的聯(lián)系。目前，最優(yōu)控制理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實踐中的各個領(lǐng)域。關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制泛函變分飛機燃油最省一、最優(yōu)控制

3、一、最優(yōu)控制最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制中發(fā)展較早的重要組成部分，它是現(xiàn)代控制理論和實踐的一個研究熱點和中心課題。最優(yōu)控制理論是在現(xiàn)代科學技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)上形成的，是現(xiàn)代控制理論的核心。它研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)的方案。最優(yōu)化及最優(yōu)控制技術(shù)是研究和解決如何將最優(yōu)化問題表示為數(shù)學模型以及如何根據(jù)數(shù)學模型盡快求出其最優(yōu)解的問題。從數(shù)學角度看，最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，因此這就是要應(yīng)用到變分學的知識。1.11.1

4、最優(yōu)控制問題的實質(zhì)最優(yōu)控制問題的實質(zhì)最優(yōu)控制問題的實質(zhì)，就是確定在給定條件下給定系統(tǒng)的控制規(guī)律，使得系統(tǒng)在規(guī)定的性能指標或者目標函數(shù)下具有最優(yōu)值，也就是說，最優(yōu)控制就是要尋找可以達到的控制作用或者規(guī)律，使動態(tài)系統(tǒng)，也就是受控對象從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某種要求的終端狀態(tài)，且保證所規(guī)定的性能指標或者目標函數(shù)達到最大（?。┲?。如下圖所示，在一定的初始狀態(tài)下，控制裝置具有一定的限制作3一般函數(shù)的極值時微分和導數(shù)起著非常重要的作用，在研究泛函極值時，變

5、分法同樣起著很重要的作用[4]。求解泛函極大值和極小值的問題一般稱之為變分問題，求解泛函極值的方法成為變分法。因此，變分法是研究和分析泛函極值的一種十分重要的方法，在最優(yōu)控制中，泛函一般是指控制系統(tǒng)所期望得到的某些目標或者準則，常被稱為“目標函數(shù)”或者“指標函數(shù)”等[5]。到現(xiàn)在變分法已經(jīng)能基本解決實際生產(chǎn)和工程和中的大部分優(yōu)化問題，提出了解決泛函固定端點、可變端點等問題的諸多理論，并給與分析與證明。這些領(lǐng)域應(yīng)用于控制領(lǐng)域的最優(yōu)控制問題

6、，已經(jīng)可以解決很大一部分的最優(yōu)控制問題[6]。在此，變分法是研究泛函數(shù)極值的一種經(jīng)典方法。我們應(yīng)用變分法的結(jié)果來解決最優(yōu)控制問題。2.12.1泛函的變分泛函的變分設(shè)泛函為連續(xù)泛函，泛函的增量可表示為[()]Jyx[()()][()]JJyxyxJyx?????[()()][()()]LyxyxRyxyx????如上面所提到的，在我們研究的控制問題中，一般會選擇0[()](()()]ftfftJxttLxtutt????式中，t為時間，為

7、初始時間，為終端時間，x(t)為狀態(tài)向量，u(t)為輸入控0tft制向量，x()為狀態(tài)向量的終端狀態(tài)，L和都是標量函數(shù)，上式常被稱為積ft?分型指標函數(shù)[7]。2.22.2泛函的極值泛函的極值(1)泛函極值的定義如果泛函在任意一條與y=相近的曲線上的值不小于（或者不[()]Jyx0()yx大于），即（或者），則稱[()]Jyx0[()][()]0JyxJyx??0[()][()]0JyxJyx??泛函J在曲線上上取到極小值（或者極大值）