03點.直線.平面的投影

1、3.點.直線.平面的投影,3.3 平面的投影,3.2 直線的投影,3.1 點的投影,返回,教學(xué)目標(biāo),3.點.直線.平面的投影,3.掌握各種位置直線和平面的投影特征，作圖方 法以及在投影圖上正確判斷其空間位置。,2.掌握點與線的相對位置中，從屬性和定比性的 運用。,1. 掌握點、直線和平面的投影規(guī)律與作圖法。,教學(xué)目標(biāo),4.掌握兩直線，兩平面相對位置的投影特征及 判斷方法。,,,3.點.直線.平面的投影,3.1 點的投影

2、,3.1.1點的三面投影,3.1.2點的空間位置,3.1.3兩點的相對位置,,,3.點.直線.平面的投影,3.2 直線的投影,3.2.1各種位置直線及其投影特征,3.2.2直線與點的相對位置,3.2.3兩直線的相對位置,,,3.點.直線.平面的投影,3.3 平面的投影,3.3.1平面的表示法,3.3.2各種位置平面及其投影特征,3.3.3平面上的直線和點,,,,,點、直線、平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素,,,,,,,,,,,,,,,,,

3、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,C,D,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3·1 點的投影,3.1.1點的三面投影,? 采用多面投影。,,,3.1.1點的三面投影,過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。,點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。,解決辦法,投影面與投影軸,O,V面與H面的交線—OX軸,V面與W面的交線—OZ軸,H面與W面的交線—OY

4、軸,,3.1.1點的三面的投影,,,,Α—空間點A；a —點A的水平(H)投影;a′ —點A的正面(V)投影;a″ —點A的側(cè)面(W)投影。,3.1.1點的三面投影,,,空間點的位置和直角坐標(biāo),空間點的位置，可由直角坐標(biāo)值來確定，一般采用下列的書寫形式：A(x,y,z)。,點到各投影面的距離，為相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值X，Y，Z 。,,,,,,,,,,,投影面展開,,,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a″,a′,,,,,,,,,,,,,,,

5、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,H面向下旋轉(zhuǎn)90°,H,W面向右旋轉(zhuǎn)90°,V面不動,,,a?a⊥OX軸; a?a?⊥OZ軸; a到OX軸的距離= a?到OZ軸的距離,? Aa′=aax= a? az=ay0=yA——A點到V面的距離,? Aa =a?ax= a? ay=az0=zA——A點到H面的距離,? Aa″=aay= a? az=ax0=xA——A點到W面的距離,,,,點的三

6、面投影規(guī)律:,,,,X,V,Y,O,W,Z,a,a″,a′,,,,,,,,,,,,,H,,,,,,例1:已知A點的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作A點的 三面投影圖。,,,?作投影軸；,?量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點 ；,步驟:,?過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a′、a″既為所求。,,,,例2：已知點的兩個投影，求第三投影。,,,

7、●,●,,,a?,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,,,,通過作45°線使a?az=aax,用圓規(guī)直接量取a?az=aax,3.1.2點的空間位置,1. 在空間（X，Y，Z）,點在投影體系中有四種位置情況：,,,3.1.2點的空間位置,,,,X,V,Y,O,W,Z,,,H,?由于X，Y，Z均不為零，對三個投影面都有一定距離，所以點的三個投影都不在軸上。,,,,,,3.1.2點的空間位置,?由于點在投影面上，點對該投影面

8、的距離為零。所以，點在該投影面上的投影與空間點重合，另兩投影在該投影面的兩根投影軸上。,2. 在投影面上： 在H面上（X，Y，0）,,X,V,Y,O,W,Z,,,H,在V面上（X，0，Z）,在W面上（0，Y，Z）,,,,3.1.3點的相對位置,,,3.1.3兩點的相對位置,兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,? x 坐標(biāo)大的在左；,? y 坐標(biāo)大的在前；,? z 坐標(biāo)大的在上。,判斷方法：,,,,B點在A點的左、

9、下、前方。,?當(dāng)空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應(yīng)相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。,兩點重影,?重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來，以示區(qū)別。,兩點重影,,,,,( ),H面重影，被擋住的投影加( ),,,3.2 直線的投影,兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。,直線平行于投影面投影反映線段實長 ab=A

10、B 真實性,,直線垂直于投影面投影重合為一點ab=0 積聚性,直線傾斜于投影面投影比空間線段短 ab＜AB 類似性,3.2 直線的投影,3.2.1各種位置直線的投影特征,,,,直線中的投影特性,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于Ｖ面）,側(cè)平線（平行于Ｗ面）,水平線（平行于Ｈ面）,正垂線（垂直于Ｖ面）,側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）,鉛垂線（垂直于Ｈ面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,,,直線在三個投影

11、面中的投影特性,,,,,投影特性：,三個投影都縮短了。即: 都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。,,,(1) 一般位置直線,,,(2) 投影面平行線,,,投影特性：,1. 水平線的H面投影反映線段實長。即：ab=AB;水平線的V、W面投影分別平行于H面的兩根軸。 即 a′b′∥ox軸，a″b″∥OYW軸；3. 水平線的H面投影與OX軸夾角反映該直線對V面的傾角β；與OYH軸的夾角，反映

12、該直線對W面的傾角γ。,水平線的投影特征：,對正平線和側(cè)平線作分析，可得出類似的投影特征。,投影面平行線,,1. 在其平行的那個投影面上的投影反映實長， 并反映直線與另兩投影面傾角。,2.另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。,水平線,側(cè)平線,正平線,投 影 特 性：,與H面的夾角:α 與V面的角:β 與W面的夾角:γ,實長,實長,實長,,,(3)投影面垂直線,,,投影特性：,H面投影積聚成一點；V、W面投影反映

13、實長，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分別垂直于H面的兩面根軸，即： a′b′⊥ox軸a″b″ ⊥oz軸 。,對正垂線和側(cè)垂線作分析，可得出類似的投影特征。,鉛垂線投影特征:,投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線,2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。,1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。,投影特性:,,,積聚為點,積聚為點,積聚為點,例1：判斷下列直線的空間位置,,,AB為水平線,CD為側(cè)平線,,

14、,3.2.2直線與點的相對位置,? 若點在直線上, 則點的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。 ?若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb= ac / cb?,?若點的投影有一個不在直線的同名投影上， 則該點必不在此直線上。,判別方法：,V,H,3.2.2直線與點的相對位置,,,,在,不在,例2：判斷點K是否在線段AB上。,,a?,b?,因k?不在a? b?上， 故點

15、K不在AB上。,應(yīng)用定比定理,,,,,另一判斷法是,,,因a?k?:k?b?≠ ak:kb 故點K不在AB上。,⒈ 兩直線平行,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。,3.2.3兩直線的相對位置,,,,,,空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,結(jié)論：AB//CD,①,,,b?,d?,c?,a?,對于投

16、影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。,結(jié)論:AB與CD不平行,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。,②,,求出側(cè)面投影,如何判斷,,,,,,,,,,2.兩直線相交,判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。,,,交點是兩直線的共有點,,,例3：過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,,,1?(2? ),3(4 ),3.兩直線交

17、叉,? 同名投影可能相交，但 “交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。,? “交點”是兩直線上的一 對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,●,●,Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。,,AB與CD兩直線相交嗎,投影特性：,,,結(jié)論：AB與CD兩直線不相交,兩直線垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。,設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB, 同時BC⊥Bb所

18、以BC⊥ABba平面,結(jié)論:直線在H面上的投影互相垂直,即∠abc為直角,因此 bc⊥ab,故bc ⊥ABba平面,又因BC∥bc,證明：,,,,,,,,,,,a,b,c,a?,b?,c?,,●,●,例4：過C點作直線與AB垂直相交。,AB為正平線, 正面投影反映直角。,,,,3.3.1平面的表示法,,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,3.3平面的投影,3.3.1平面的表示法,,,,,,,

19、,,,3.3.2各種位置平面的投影特性,,平行,,垂直,,傾斜,實形性,類似性,積聚性,平面對一個投影面的投影特性,3.3.2各種位置平面的投影特性,,,,,,,平面在三投影面體系中的投影特性,平面對于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面,平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面,與三個投影面都傾斜,,,,投影面垂直面,,,ABC為什么位置的平面,,,,,,,,a,b,

20、c,a?,c?,b?,c?,b?,a?,,,,,,,,,⒈ 投影面垂直面,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個投影面上的投影有類似性。,為什么？,,,積聚性,投影面平行面,,,2.投影面平行面,積聚性,積聚性,實形性,結(jié)論：水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映實形。,另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。,,,一般位置

21、平面,,,⒊ 一般位置平面,三個投影都類似。,投影特性：,,,4.3.3平面上的直線和點,平面上取任意直線,3.3.3平面上的直線和點,,,有無數(shù)解。,,,,,,,,,a,b,c,b?,c?,a?,,,d?,,n?,,m?,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一：,解法二：,根據(jù)定理一,有多少解,,,根據(jù)定理二,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距

22、 離為10mm。,,n?,m?,n,m,,,,,唯一解！,有多少解,,,平面上取點,先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,,面上取點的方法：,首先面上取線,,,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,,,,,,,,k?,,,,b,,,,例3：已知AC為正平線，補全平行四邊形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,,,? 分

23、析已給條件的空間情況，弄清原始條件中物體與投影面的相對位置，并把這些條件抽象成幾何元素（點、線、面等）。,? 根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元素處于什么樣的特殊位置（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方法。,,,? 本章學(xué)習(xí)難度較大，建議多做練習(xí)，多進(jìn)行空間分析和想像，以培養(yǎng)空間思維能力。,解題方法：,解題方法：,本章小結(jié),,?點、直線平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素，研究它們的投影是為了正確表達(dá)形體和解決空間幾何問題,奠定理論基礎(chǔ)