多元函數(shù)的概念

1、多元函數(shù)的概念我們前面所學(xué)的函數(shù)的自變量的個(gè)數(shù)都是一個(gè)，但是在實(shí)際問題中，所涉及的函數(shù)的自變量的個(gè)數(shù)往往是兩個(gè)，或者更多。例：例：一個(gè)圓柱體的體積與兩個(gè)獨(dú)立變量rh有關(guān)。`我們先以二個(gè)獨(dú)立的變量為基礎(chǔ)，來給出二元函數(shù)的定義。二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量x與y在其給定的變域中變域中D中，任取一組數(shù)值時(shí)，第三個(gè)變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)二元函數(shù)。記作：z=f(xy).

2、其中x與y稱為自變量自變量，函數(shù)z也叫做因變量因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域定義域。關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個(gè)或幾個(gè)區(qū)間.二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的部分平面部分平面.這樣的部分在平面稱為區(qū)域區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界邊界，邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域開域。如果一個(gè)區(qū)域D(開域或閉域)

3、中任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有界區(qū)有界區(qū)域；否則稱D為無界區(qū)域無界區(qū)域。常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。如下圖所示：例題：例題：求的定義域.解答：解答：該函數(shù)的定義域?yàn)椋簒≥y≥0.二元函數(shù)的幾何表示二元函數(shù)的幾何表示把自變量x、y及因變量z當(dāng)作空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)，先在xOy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(xy)的定義域D；再過D域中得任一點(diǎn)M(xy)作垂直于xOy平面的有向線段MP使其值為與(xy)對應(yīng)的函數(shù)值z；當(dāng)M點(diǎn)在D中變動(dòng)

4、時(shí)，對應(yīng)的對應(yīng)的P點(diǎn)的軌跡就是函數(shù)點(diǎn)的軌跡就是函數(shù)z=f(xy)的幾何圖形的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影。二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性在一元函數(shù)中，我們曾學(xué)習(xí)過當(dāng)自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限。對于二元函數(shù)z=f(xy)我們同樣可以學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x與y趨向于有限值趨向于有限值ξ與η時(shí)，函數(shù)z的變化狀態(tài)變化狀態(tài)。在平面xOy上，(xy)趨向(ξη)的方式可以時(shí)多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜

5、得多。如果當(dāng)點(diǎn)(xy)以任意方式趨向點(diǎn)(ξη)時(shí)，f(xy)總是趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，那末就稱A是二元函數(shù)f(xy)當(dāng)(xy)→(ξη)時(shí)的極限極限。這種極限通常稱為二重極限二重極限。下面我們用εδ語言給出二重極限的嚴(yán)格定義：如果△xz與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)的極限存在，那末此極限值稱為函數(shù)z=f(xy)在(x0y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。記作：fx(x0y0)或關(guān)于對x的偏導(dǎo)數(shù)的問題函數(shù)z=f(xy)在(x0y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)

6、際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(xy0)在x0處的導(dǎo)數(shù)同樣，把x固定在x0讓y有增量△y如果極限存在，那末此極限稱為函數(shù)z=(xy)在(x0y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).記作fy(x0y0)或偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法當(dāng)函數(shù)z=f(xy)在(x0y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x0y0)與fy(x0y0)都存在時(shí)，我們稱f(xy)在(x0y0)處可導(dǎo)可導(dǎo)。如果函數(shù)f(xy)在域D的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，那末稱函數(shù)f(xy)在域D可導(dǎo)可導(dǎo)

7、。此時(shí)，對應(yīng)于域D的每一點(diǎn)(xy)，必有一個(gè)對x(對y)的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個(gè)新的二元函數(shù)，稱為f(xy)對x(對y)的偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)。例題：例題：求z=x2siny的偏導(dǎo)數(shù)解答：解答：把y看作常量對x求導(dǎo)數(shù)，得把x看作常量對y求導(dǎo)數(shù)，得注意：注意：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。例題：例題：求的偏導(dǎo)數(shù)。解答：解答：我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法來做。把y和z看成常量對x求導(dǎo)，得.把x