2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、1實(shí)數(shù)與向量的積(實(shí)數(shù)與向量的積(1)教學(xué)目的:教學(xué)目的:1.掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義,理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義;2.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律;3.理解兩個(gè)向量共線的充要條件,能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行.教學(xué)重點(diǎn):教學(xué)重點(diǎn):掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律、理解向量共線的充要條件教學(xué)難點(diǎn):教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量共線的充要條件的理解授課類(lèi)型:授課類(lèi)型:新授課課時(shí)安排:課時(shí)安排:1課時(shí)教具:多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引

2、入:一、復(fù)習(xí)引入:1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量有二個(gè)要素:大小、方向.2.向量的表示方法:①用有向線段表示;②用字母a、b等表示;3.零向量、單位向量概念:①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.4.平行向量定義:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我們規(guī)定0與任一向量平行.向量a、b、c平行,記作a∥b∥c.5.相等向量定義:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共線向量與平行向量關(guān)系:平

3、行向量就是共線向量.7.7.向量的加法:向量的加法:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法向量加法的三角形法則和平行四邊形法則8向量加法的交換律:向量加法的交換律:ab=ba9向量加法的結(jié)合律:向量加法的結(jié)合律:(ab)c=a(bc)1010向量的減法向量a加上的b相反向量,叫做a與b的差即:a?b=a(?b)11差向量的意義:OA=aOB=b則BA=a?b即a?b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量二、講解新課:二、講解新課:1

4、示例:已知非零向量a?,作出a?a?a?和(?a?)(?a?)(?a?)OC=BCABOA??=a?a?a?=3a?PN=MNQMPQ??=(?a?)(?a?)(?a?)=?3a?(1)3a?與a?方向相同且|3a?|=3|a?|;(2)?3a?與a?方向相反且|?3a?|=3|a?|2實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)λ與向量a?的積是一個(gè)向量,記作:λa?(1)|λa?|=|λ||a?|(2)λ0時(shí)λa?與a?方向相同;λ0時(shí)λa?與a?方向相反

5、;λ=0時(shí)λa?=03∴??||||||||111ABBAOAOAλ∴△OAB∽△OA1B1∴?||||1OBOBλ?AOB=?A1OB1因此,O,B,B1在同一直線上,|1OB|=|λOB|1OB與λOB方向也相同∴λ(a?b?)=λa?λb?當(dāng)λ0時(shí)可類(lèi)似證明:λ(a?b?)=λa?λb?∴③式成立4向量共線的充要條件若有向量a?(a??0)、b?,實(shí)數(shù)λ,使b?=λa?,則a?與b?為共線向量若a?與b?共線(a??0)且|b?|

6、:|a?|=μ,則當(dāng)a?與b?同向時(shí)b?=μa?;當(dāng)a?與b?反向時(shí)b?=?μa?從而得向量共線定理向量b?與非零向量a?共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ,使b?=λa?三、講解范例:三、講解范例:例1若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.分析:此題可把已知條件看作向量m、n的方程,通過(guò)方程組的求解獲得m、n.解:記3m+2n=a①m-3n=b②3②得3m-9n=3b③①-③得11n=a-3b.∴n=1

7、11a-113b④將④代入②有:m=b+3n=113a+112b評(píng)述:在此題求解過(guò)程中,利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律,從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F,求證EF=21(ABDC).解法一:構(gòu)造三角形,使EF作為三角形中位線,借助于三角形中位線定理解決.過(guò)點(diǎn)C在平面內(nèi)作CG=AB,則四邊形ABGC是平行四邊形,故F為AG中點(diǎn).∴EF

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