函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)大全9

1、函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律探討：（1）函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于對稱對稱)(xfy?ax??)()(xafxaf???也可以寫成或)()(xafxaf???)2()(xafxf??)2()(xafxf???簡證：簡證：設(shè)點在上，通過可知，，即點)(11yx)(xfy?)2()(xafxf??)2()(111xafxfy???上，而點與點關(guān)于x=a對稱。得證。)()2(11xfyyxa??也在)(11yx)2(11

2、yxa?若寫成：若寫成：，函數(shù)關(guān)于直線對稱)()(xbfxaf???)(xfy?22)()(baxbxax??????（2）函數(shù)函數(shù)關(guān)于點關(guān)于點對稱對稱)(xfy?)(ba?bxafxaf2)()(????或bxfxaf2)()2(????上述關(guān)系也可以寫成bxfxaf2)()2(???簡證：簡證：設(shè)點在上，即，通過可知，)(11yx)(xfy?)(11xfy?bxfxaf2)()2(???，所以，所以點也在bxfxaf2)()2(11

3、???1112)(2)2(ybxfbxaf?????)22(11ybxa??上，而點與關(guān)于對稱。得證。)(xfy?)22(11ybxa??)(11yx)(ba若寫成：若寫成：，函數(shù)關(guān)于點對稱cxbfxaf????)()()(xfy?)22(cba?（3）函數(shù)函數(shù)關(guān)于點關(guān)于點對稱對稱:假設(shè)函數(shù)關(guān)于對稱，即關(guān)于任一個值，都有兩個y值與)(xfy?by?by?x其對應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于對稱。但在曲線c(xy)=0，

4、則有可by?能會出現(xiàn)關(guān)于對稱，比如圓它會關(guān)于y=0對稱。by?04)(22????yxyxc1、周期性：（1）函數(shù)滿足如下關(guān)系系，則)(xfy?Txf2)(的周期為A、B、)()(xfTxf???)(1)()(1)(xfTxfxfTxf?????或（2）函數(shù)滿足且，則可推出)(xfy?)()(xafxaf???)()(xbfxbf???即可以得到的周期為2(b)](2[)]2([)]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf

5、?????????????)(xfy?a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對稱，則函數(shù)一定是周期函數(shù)”（3）如果奇函數(shù)滿足則可以推出其周期是2T，且可以推出對稱軸為，根據(jù))()(xfTxf???kTTx22??)(zk?可以找出其對稱中心為（以上）)2()(Txfxf??)0(kT，)(zk?0?T如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是2T，且可以推出對稱中心為)()(xfTxf???)022(kTT?，根據(jù)可以推出對稱

6、軸為（以上）)(zk?)2()(Txfxf??kTTx2??)(zk?0?T（4）如果奇函數(shù))(xfy?滿足)()(xTfxTf???（0?T），則函數(shù))(xfy?是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù))(xfy?滿足)()(xTfxTf???（0?T），則函數(shù))(xfy?是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理3：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)??xf??xafxaf???)(??xbfxbf???)(ba???xfy?推論4：如果函數(shù)

7、滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.特別地，推論4??xfy?????0???xfxf??xfy???00就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡化.三、總規(guī)律：定義在Ｒ上的函數(shù)，在對稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條??xfy?一定存在。四、試題1已知定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果??xf????4????xfxf??xf????2212xx??，且，則的值（A）.421??xx????21xf

8、xf?A恒小于0B恒大于0C可能為0D可正可負.分析：形似周期函數(shù)，但事實上不是，不過我們可以取特殊值代入，通過適????4????xfxf????4??xfxf當(dāng)描點作出它的圖象來了解其性質(zhì).或者，先用代替，使變形為2?xx????4????xfxf.它的特征就是推論3.因此圖象關(guān)于點對稱.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間????22????xfxf??02??xf????2上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個單位.??

9、2??，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又由，1242xx????????2????124xfxf??????4????xfxf有，????????1111444)4(xfxfxfxf?????????.選A.???????21xfxf????114xfxf??????011???xfxf當(dāng)然，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案為A.2：在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上是減函數(shù)，則(B)()fx()fx(2)fx??(

10、)fx[12]()fxA.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)[21]??[34]B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)[21]??[34]C.在區(qū)間[21]??上是減函數(shù)，在區(qū)間[34]上是增函數(shù)D.在區(qū)間[21]??上是減函數(shù)，在區(qū)間[34]上是增函數(shù)分析分析：由可知圖象關(guān)于對稱，即推論1的應(yīng)()(2)fxfx??()fxx1?用.又因為為偶函數(shù)圖象關(guān)于對稱，可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合在區(qū)間上是()fx0x?()fx()f