freekaoyan數(shù)分競(jìng)賽訓(xùn)練科大

1、11求證：在上不存在可導(dǎo)函數(shù)，使其滿足。Rf32(())1ffxxx????證明如果這樣的存在，我們來求的不動(dòng)點(diǎn)，即滿足的，由假f(())ffx(())ffxx?x設(shè)，由此得，這表明有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。321xxx????1x?(())ffx1x?令設(shè)，那么，因而，這說明(1)f??((1))()1fff???(())(1)fff????也是的不動(dòng)點(diǎn)，因而，即，在等式?(())ffx1??(1)1f?32(())1ffxxx????兩邊求導(dǎo)

2、得，，2(())()32ffxfxxx?????令，即得，，這是不可能的，命題得證。1x?2((1))1f???2求證：在上不存在可導(dǎo)函數(shù)，使其滿足。Rf2(())33ffxxx???證明如果這樣的函數(shù)存在，我們來求的不動(dòng)點(diǎn)，即滿足的()fx(())ffx(())ffxx?，由假設(shè)，x233xxx???，2430xx???或，1x?3x?這表明僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或，(())ffx1x?3x?今設(shè)，，(1)f??(3)f??那么，((1))(

3、)1fff???因而，(())(1)fff????這說明也是的不動(dòng)點(diǎn)，因而或，同理或，?(())ffx1??3??1??3??若，，，這是不可能的，1??(())()23ffxfxx????2((1))1f???若，，，3??(1)3f?1((1))(3)fff????，(())()23ffxfxx????讓，，1x?(3)(1)1ff????讓，，3x?(1)(3)3ff???這也是不可能的，故這樣的函數(shù)是不存在的。f3事實(shí)上，找這樣

4、的，只要找最大、最小值點(diǎn)即可。??因，所以最大、最小值至少有一個(gè)在內(nèi)部達(dá)到，設(shè)是的()()fafb?()ab??f最大值點(diǎn)，（內(nèi)部達(dá)最小值類似討論）于是，()()()lim0xfxffx????????????任取一點(diǎn)：，因在上連續(xù)，在上必有一點(diǎn)達(dá)到最小cac???f[]c?f[]c????值，于是，()()()lim0xfxffx????????????如此，我們即達(dá)到了目的，結(jié)論得證。3.2.35設(shè)在上連續(xù)，，又設(shè)對(duì)一切，()fx[

5、]ab()()fafb?()xab?存在，用表示這一極限值，0()()limtfxtfxtt????()gx試證：存在，使得。()cab?()0gc?吉米多維奇吉米多維奇1286若于某鄰域內(nèi)，函數(shù)增量的符號(hào)與自變量增量0xx???00()()()fxfxfx???的符號(hào)相同，函數(shù)為在點(diǎn)增大。證明：若函數(shù)于無窮或有窮00xxx???()fx0x()fx區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)增大，則它在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)。()ab證明要證對(duì)任意兩點(diǎn)，都有，對(duì)中每12