工程流體力學第三章

1、第3章 流體靜力學,所謂靜止流體是指無相對運動的流體，即無流動的流體，是流體的特殊情況。靜止流體是相對于運動流體而言的。流體靜力學的任務就是研究靜止流體的力學性質，分析其各個物理量之間的相互關系。主要解決兩個問題： ① 為后面的流體動力學奠定受力分析基礎； ② 流體靜力學分析的方法和某些結果可直接應用于科學和工程實際。,§3-1作用在流體上的力,一.質量力,考察流體團塊的受力狀況。如圖 所示的流體團，體積為 V ，表面積

2、為 A 。 這個流體團所受外力可分為兩類：質量力和表面力。,質量力又稱體積力，是作用在流體上的非接觸力，或稱為遠程力（意為遠距離作用力），如地球引力和運動慣性力等。質量力與流體的質量有關。如圖 所示，若微元體 △ v 的密度為 P ，所受到的質量力為 △ F ，則單位質量流體所受的質量力 f 可定義為：,一般來說，流體的質量力是變化的，因此單位質量力是時間和空間的函數(shù)， 可表示為：,二· 表面力（實際上是作用在

3、流體表面上的力）表面力是由相鄰流體質點或其他物體直接作用于流體微團表面的力，用 △ P 表示作用在法線為 n 的微元面積 △ A 上的表面力，則單位面積受到的表面力 Pn 可定義為,用分量式可表示為,作用在體積為 v 的流體團上的總質量力 F m就可以表示為,pn同樣是時間和空間的函數(shù)，即,由于是單位面積上的力，所以 pn通常稱為微元面上的應力。 如果p n不垂直表面，則可將其分解為分別與表面垂直和平行的兩個分 量，垂直分量稱為

4、正應力，平行分量稱為切應力。,三.靜止流場中的應力性質,對于靜止流場表面力就是正應力或法向應力，即,可以證明：靜止流體中的法向應力值是各向同性的，即,p 通常稱為流體靜壓力，或簡稱壓力，它總是取正值。 于是，作用在體積為 v 、表面積為 A 的靜止流體團上的總表面力FA為：,壓力 p 的單位是 N · m 一“或 Pa （帕斯卡）。,§3. 2 流體靜力學方程及基本特性,一.流體靜力學方程,物體處于靜止的必要條件

5、是：作用在物體上的外力和外力矩的總和分別為零。即,根據(jù)式（ 3 - 4 ）和式（ 3 -9 ) ，對于流體團塊，作用在上面的總力為,∴,由奧一高定理,代入式（ 3 -12 ）即：,上式為流體靜力學的基本方程，其應用十分廣泛。它不光用在流體靜力學的受力分析中，也可以對運動的流體處于平衡狀態(tài)時的受力分析。,即,由,也可以得到,將上式寫成分量的形式：,二.流場的基本特征,( 1 ）流體靜止質量力的必要條件,( 2 ）質量力有勢,該式就是不可壓

6、縮流體靜止的必要條件。,按矢量運算的定義，上式存在一個標量函數(shù) U ，使不可壓縮流體的質量力被表示成如下的關系,流體質量力滿足這個關系就稱之為質量力有勢， U 被稱為質量力勢函數(shù)。因此質量力有勢是不可壓縮流體靜止的必要條件。其負號表示質量力做正功等于質量力勢的減少。,此時等壓面也就是等勢面。因此，等壓面的重要性質是：作用于靜止流體中任一點的質量力必然垂直于通過該點的等壓面。等壓面概念對解決許多流體平衡問題很有用處，它是液柱式壓力計測壓

7、原理的重要基礎。根據(jù)等壓面性質，我們可以在已知質量力的方向，去確定等壓面的形狀，或已知等壓面的形狀去確定質量力的方向。,( 3 ）有勢質量力場中靜止流體的等壓面和等勢面,在靜流體中壓力相等的各點所構成的面稱之為“等壓面”。也即在等壓面上P=常數(shù)，dP=0；,由此可知,根據(jù)等壓面的特性可以更普遍地證明：兩種不同流體處于平衡狀態(tài)時，其相互接觸的（但互不相混）分界面必然是等壓面。,重要性質：說明正壓流場中等壓面與等密度面重合，這是正壓流

8、場的根據(jù)靜力學方程（ 3 - 15 ) ，正壓流場的流體靜力學基本方程可以寫為,將上式兩邊取旋度,( 4 ）正壓流場流體的密度只是壓力的函數(shù)的流場稱之為正壓流場，即在正壓流場中,由于等壓面與等密度面重合，因此壓力和密度的梯度?p 、 ?ρ 必然是平行矢量，所以,從以上各式可以得出這樣的結論：處于靜止的正壓流場，其質量力必然有勢；反之，在質量力有勢的條件下，非正壓流場不可能處于靜止狀態(tài)，處于靜止狀態(tài)的必然是正壓流場。例 3 -1

9、流場靜止條件的應用P33,因此,即靜止正壓流場的質量力有勢。,§3 . 3 某些流體靜力學基本問題,在工程技術中，許多的工業(yè)過程與流體靜力學相關，研究這些問題就需要流體靜力學的知識。一、壓力分布與受力分析,對于流體靜力學基本方程：,于是，在直角坐標系中，靜止液體中壓力的全微分可用體積力的形式來表示。,二.重力場中靜止液體的壓力公式,如圖所示，液體所受到的質量力只有重力，即,其分量分別為：,于是，壓力全微分可表示成,這就是重力

10、場下均質靜止液體中的壓力分布公式。,§3-4 管式壓力計,一、單管壓力計,如圖所示， 管的上端與大氣相通，下端與測壓點相連。在壓力作用下液體沿測壓管上升某一高度h，該高度就表示測點的表壓值，M點表示表壓力。,優(yōu)點是：結構簡單且較準確；缺點是：只能測量液體壓力，不能測量氣體壓力，測量范圍小，一般測小于十分之一工程大氣壓。,例 1 有一容器內盛水，液面表面壓力為 p0 = 107.91 x 103 N／m2（= 1. 10 x

11、104 kgf／m2），容器液面高標尺讀數(shù)為 h = 0 . 5 米。求測壓管液面標高的標尺讀數(shù) H 為若干？（如圖),解 取 1 -1 水平面（為等壓面），從測壓管液面高度可知液體平衡條件為：,同樣，亦可根據(jù)已知測壓管液面標高的標尺讀數(shù) H 值， 反求容器內液面表壓 P0 值。,可解出：,m,解畢.,二、 U 形管測壓計,如圖所示 U 形管壓力計，對于A點的表壓為：,由于 B 點與 C 點在同一水平線上，即處于同一等壓面上。因而

12、有：,+ P0,+ P0,如果測量氣體壓力，由于氣體重度 γ1 遠小于液體重度γ2 ，則容器內A點流體表壓可近似地等于：,三. 多U 形管壓力計,對圖中各 U 形管連續(xù)應用流體靜壓力基本方程，就可得,若被測流體的壓力超過 3 個大氣壓時，可把幾個 U 形管串聯(lián)，組成 U 形多管測壓計如圖所示。,+ P0,將上述方程組累加，則得 A 點的壓力為,+P0,若n支U形管串聯(lián)，則有：,+ P0,§3-5 平面上的液體總壓力,一、總壓

13、力大小,如圖所示與水平成 α 傾角的斜平面 A上取一微元面積 dA ，其形心位于水深 h 處，液體作用在微元面積上表壓力的合力為：,則總壓力P為：,代入上式，則：,(1),它表明作用在平面 A 的液體總壓力，等于浸水面積 A 與形心點的靜壓力 γhc的乘積?？衫斫鉃橐患傧塍w積的液重，即以浸水面積 A 為底，面積 A 的形心淹沒深度hc為高的這樣一個體積包圍的液體重量。,二、總壓力的作用點（即壓力中心座標 yD點）,,,如圖，設總壓力的

14、作用點為 D ，通常稱D為壓力中心。 壓力中心座標 yD可根據(jù)力學的合力矩定理來確定：即總壓力對 x 軸的力矩等于各微元面積微分壓力對二軸力矩的代數(shù)和。亦即,因為,故,(2),由慣性矩的平行移軸定理知：,這表明液體總壓力P垂直指向平面A，并等效地作用在的壓力中心 D 點上。表中列出幾種常見的規(guī)則平面形心座標及形心慣性矩 Jcx的計算公式。,,例 題 有一矩形平壁，兩側均受一有重度為γ的靜止液體作用，且水深分別為 h1及 h2（圖

15、）。試求液體作用此矩形平壁的合力及其壓力中心（平壁在垂直于圖面方向的寬度為 B ）。解： 先討論平壁左側因是矩形平壁，則有（其深度為 h1 ) ，,根據(jù)式（ 2 ）則,同理，討論平壁右側（深度為 h2 ),B 、 h1、 h2― 平壁寬度，左側、右側水深（米）。設合力P作用點距液面淹深為 yD ，對 0 點應用合力矩定理，則得,經整理，最終得,解畢.,例 題 如圖所示 為一冷卻水池的泄水孔，在 N 點用鉸鏈將閘門連接于擋水墻上，并

16、在 M 點連接啟開閘門的鐵鏈。已知垂直關閉的矩形閘門 MN 的尺寸為 b x h２ = l . 0x0 . 5 m2 ，又 h 1 = 2 . 9 m、 h2 = 0 . 5 m， h3 = 0 . 3 m。若開啟閘門時鐵鏈與水平成 45?角。試求啟開閘門所需的力 T 為若干？（閘門重量及摩擦力忽略不計）,解：確定閘門受水作用后的總壓力,（N）,壓力中心座標 yD,現(xiàn)在按力 T 對鉸鏈 N 的力矩等于力尸對鉸鏈 N 的力矩計算即,

17、解畢.,§3-6浮力定律,該式表明，物體所受的浮力等于其所排開的液體的重量（重力），方向垂直向上。這就是人們熟知的阿基米德定律。,完全浸沒物體的浮力。液體對潛入其中的物體的作用力稱為浮力，可表示為：,例 題 試確定浮力比重計的沉入深度h。γ液體比重；d浮管直徑；M比重計質量；V浮球體積；,,解：求浮力F（管+球）,由平衡條件：,解畢.,§3-7非慣性系流體靜力學,流體靜力學基本方程式（ 3 - 15 ）是對慣性坐標

18、系建立的。在有加速度的非慣性坐標系中流體處于相對靜止狀態(tài)，則其表面力仍然具有各向同性和切應力為零的性質，因此基本方程同樣可以成立。不同的是，在非慣性坐標系中，流體處于靜止狀態(tài)，其所受的力還應包括慣性力，即基本方程中的質量力了應為重力和慣性力兩部分之和。下面來分析兩種非慣性坐標系中靜止流體的受力情況。其加速度 α 為:,根據(jù)達郎貝爾原理，單位質量流體受到的慣性力為由慣性力和重力兩部分組成，即:,代人式（ 3 -15 ）得非慣性坐標系

19、中的流體靜力學方程為,其直角坐標系下的分量式為,當加速度是常數(shù)時，對上式進行積分可得流體的壓力分布為,全微分可以表示為:,其中c是積分常數(shù)，由具體問題確定。,例 3 . 2，P37,旋轉容器中的靜止液體,如圖所示一個旋轉容器，容器半徑為 R ；靜止狀態(tài)時裝有深度達到 H 的液體。當容器以角速度ω做等速度旋轉時，液體除受到重力作用外還要受到離心慣性力的作用。根據(jù)圖示的坐標可知，單位質量流體的重力分量為,流體繞 z 軸以勻角速度ω旋轉時

20、，單位質量流體受到的慣性力（離心力）x 、 y 、 z 方向的分量為：,同理將質量力代人壓力全微分公式有：,旋轉的液面為自由表面，也是等壓面，所以 dp = 0 ，積分上式即：,即，自由表面為一拋物面，其等壓面也為一簇拋物面。根據(jù)旋轉時與不旋轉時體積應當相等，可得：,由于軸對稱 x2 ＋y2＝ r2 ，所以上式為,當 r=0時，z= H0 ，即c=-gH0,壓力分布 積分式（ 3 - 51 ）得到容器中的壓力分布,其中h為自由液

21、面到液體中某點的垂直距離。,高速回轉圓筒內的流體壓力分布,對于像離心機之類的旋轉機械來說，容器的旋轉速度少則每分鐘幾百轉，多則達每分鐘數(shù)十萬轉。高轉速使液體所受的旋轉慣性力遠大于重力。由3-51式:,ω=0 ω＞0 ω＞＞0,積分上式為,此即高速回轉圓筒內的流體壓力分布的表達式。它在徑向是呈拋物線分布

22、的。,（3-59）,例3-3 P41。,習 題,3- 1 一個底部為正方形的容器被分成兩部分，兩部分在容器的底部連通。在容器中裝人水以后，再在左邊部分加人密度為 820 kg ／m3 的油，形成如圖 3-9 所示的形態(tài)。試計算右邊油的高度 h 。又：如果在油面上浮著一個 1000N 重的木塊，則右邊的水面要上升多少？ 3-2 在海中一艘滿載貨物的船，其形態(tài)如圖 3-10 所示。船底長度 12m ，船體寬度（垂直于紙面）上下均

23、為 6m ，船長兩端梯度均為 45 。，并近似取海水的密度為 1000 噸／ m3 。求船加上貨物的總質量。,3-3 一座水壩結構如圖 3-11所示，水壩底部傾角正切 tgθ=4 ，求水作用在單位壩寬度上的合力 F 大小及作用位置。3-4 一個充滿水的密閉容器以等角速度ω繞一水平軸旋轉，同時需要考慮重力的影響。試證明其等壓面是圓柱面，且等壓面的中心軸線比容器的轉動軸線高 g ／ω2。 3-5 圖 3-12 為一液體轉速計，由直徑為

24、d1的中心圓筒和重量為 w 的活塞、以及兩個直徑為 d2的有機玻璃管組成，玻璃管與轉軸軸線的半徑距離為R，系統(tǒng)中盛有汞液。試求轉動角速度田與指針下降距離 h 的關系（ω= 0 時， h = 0 ）。,如圖1所示，當ω=0，r=0時活塞下面液高為H，指針高h=0，由活塞重量引起的小管離液面的高差為δ。在圖2的情況下，ω≠0，r=0時活塞下面液高為H0。指針高h>0，由旋轉引起的小管離液面的伸高為ZR加上原液位高差為δ。