復雜流體力學第三章

1、,,第三章 連續(xù)介質力學基礎,§3－1 連續(xù)介質,一、質點,,宏觀上無窮小，微觀上無窮大。,既是物理點也是幾何點。,連續(xù)介質充滿著一個空間時是不留任何空隙的。,二、連續(xù)介質假設,最大簡化是：我們不必研究大量分子的瞬間運動狀態(tài)，而只要研究描述連續(xù)介質質點的物理量。,連續(xù)介質力學主要研究質量連續(xù)分布的可變形物體的運動規(guī)律，討論一切連續(xù)介質普遍遵從的力學規(guī)律。例如，質量守恒、動量和角動量定理、能量守恒等。流體力學和彈性體力學均屬于連

2、續(xù)介質力學。,三、連續(xù)介質力學,,,,主要內容：,①變形幾何學，研究連續(xù)介質變形的幾何性質，確定變形所引起物體各部分空間位置和方向的變化以及各鄰近點相互距離的變化，這里包括諸如運動、應變張量、變形的基本定理等重要概念；,②運動學，主要研究連續(xù)介質力學中各種量的時間率，這里包括諸如速度梯度，變形速率和旋轉速率；,③本構關系，在某些假定條件下連續(xù)介質力學行為的數(shù)學描述；,④基本方程，根據(jù)適用于所有物質的守恒定律建立的方程，例如，連續(xù)性方程、

3、運動方程、能量方程等；,⑤復雜條件下基本方程的求解。,§3－2 應力張量,,,,一、力的分類,,,作用在流體上的力可以分為兩類，即質量力和表面力兩大類。,作用在連續(xù)介質表面上的表面力通常用作用在單位面積上的表面力——應力來表示。,二、應力張量推導,以M為頂點取一個微四面體,設ΔABC的法向單位矢量為n，面積為ΔS,,,,,,,,,,,,ΔMBC、ΔMCA、ΔMAB的面積可分別以ΔSx、ΔSy、ΔSz表示為：,,,,四面體的體積

4、可表示為：,,根據(jù)達朗貝爾原理，可給出四面體受力的平衡方程為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當四面體趨近于M點時，h為一階小量，ΔS為二階小量，ΔV為三階小量，略去高階小量后可得,,,失量形式,分量可表示為：,,,,,,,,,,,,,,,,,可以用矩陣形式表示為：,,,,第一個下標表示的是該應力作用面的法線方向；第二個下標表示的是該應力的投影方向。,應力張量,,,,,,無粘流體或靜止流場中，由于不存在切向應力，即pij

5、=0（i≠j），此時有,式中：I為單位張量。,,式中： T稱為偏應力張量；p為靜壓力或平均壓力，由于其作用方向與應力定義的方向相反。,§3－3 應變張量,,,,一、剛體的運動,,,剛體的運動可以分解為隨質心的平動和繞質心的轉動。,,式中:u0為剛體質心的平動速度； u為剛體內部任意一點處的運動速度； ω為剛體繞質心的旋轉角速度； δr為質心至某點的微元矢量。,,,,二、連續(xù)

6、介質的運動,,,,平動、轉動和變形。,假設點M0的速度為u（x,y,z）， δr=（δx,δy,δz）,,,分量形式：,,,,,,,,,,δu或(δux,δuy,δuz)是M點相對于M0點的相對運動速度,,三、反對稱張量R,,,旋轉角速度矢量的三個分量,ω=ω1i+ω2j+ω3k,四、對稱張量D,,,,,,線應變速率：,角變形速度：,,,,五、里夫林－埃里克森張量Ａ,,,,,,,,,A=2D,三個特征量：,,,,判斷是否可壓,流場剪切速

7、率,變形參量,,,,,,,,,,,,,，,，,,解：由速度分布，得旋轉張量和里夫林－埃里克森張量Ａ,,,,流動為不可壓縮流動,有旋流動,,,,,,,,,,,,,,,,,,II=k表明了流場的剪切速率為常數(shù)。,,§3－3 連續(xù)方程和運動方程,,,,一、連續(xù)性方程,,,,,,將于質量守恒定律改寫為適用于控制體的形式后所得到的數(shù)學表達式。,1、定義,2、推導,某一 時刻u＝(ux, uy, uz)從控制體側面ABCD流入的質量是,,

8、,在dt時間內從控制體側面EFGH流出的流體質量可以表示為,,,,,,,,,,,,,dt時間內沿x方向從六面體側面流出與流入的質量差，稱為x方向的凈流量。,,,,,,,,,,,,,,沿y，z兩方向dt時間內的凈流量可分別表示為:,,,dt時間內整個六面體總的凈流量應為:,,dt時間內密度變化：,,dt時間內六面體內流體密度變化而引起的質量變化值為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,按質量守恒定律，凈流量應與控制體內流體質量的變化值的代

9、數(shù)和為0。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,物質導數(shù)，既對時間求導，又對空間坐標求導。,,,流體空間運動的連續(xù)性方程，適用于所有的流動。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、幾種特殊情況的連續(xù)性方程：,（1）穩(wěn)定流動,,（2）對不可壓縮流體，流體的密度為常數(shù)。,,,流動為不可壓縮流動。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、運動方程：,運動方程是將于動量定理改寫為適用于控制體的形式后所得到的數(shù)學表

10、達式。,,,,已知微元體中心處的應力張量：,(1) 推導,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,作用在微元體上的所有表面力在x方向上的合力為：,在垂直于x 軸的面上的合力：,,在垂直于y 軸的面上的合力：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在垂直于y 軸的面上的合力：,,,在垂直于z 軸的面上的合力：,,控制體內的流體所受的表面力的合力在x方向的分量為：,,,質量力的合力在x方向的分量為：,,,

11、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,作用在微元體上的動量變化率在x方向上的分量為,,,,,,,動量定理后兩端同除以微元體內的流體的質量ρdxdydz后，可得：,,,,應力表示的粘性流體運動方程，也稱為柯西應力方程。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,不可壓縮牛頓流體層流流動的運動微分方程式，該方程又稱納維-斯托克斯方程式，簡稱 N-S 方程。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（2）適用范圍,任何粘性流體，運動狀態(tài)。,（3）方程求解,9個未知量（包括6個應力分量，3個速度分量）,方程組成：,柯西方程3個,連續(xù)方程1個,本構方程,6個,流體性質。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,柱坐標系下的連續(xù)性方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,柱坐標系下的運動方程,,,,,,,,,,,

13、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§3-4 純粘流體的本構方程,本構方程給出的是偏應力張量和應變張量之間的函數(shù)關系，即間接地給出了偏應力張量與速度之間的關系。,一、壓力的引入,,偏應力張量,,偏應力張量的分量與應力張量各分量的關系為：,法向應力- p+τij = pij (i=j)切應力τij =pij(i≠j),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,運動方程：,,,二、流體對外力的響應函數(shù),最簡單的流動,,簡單剪切流動,簡單拉伸流動,石油行業(yè)中更重要,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,簡單剪切流動,Rivlin-Ericksen張量為：,,剪切速率,簡單剪切流動可用三個材料函數(shù),廣義粘度系數(shù)：,,第一法向應力系數(shù)：,,第二法向應力系數(shù)：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

15、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,非牛頓粘度系數(shù)或視粘度。,，稱之為純粘流體或廣義流體。,三、純粘流體的本構方程,假設:,或,η是一標量函數(shù),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,四、石油工程中常見的純粘流體的視粘度,1．賓漢流體,,,,,－塑性粘度,－表觀粘度,牙膏、油漆、潤滑脂、鉆井用的泥漿和下水污泥,對簡單切變

16、流動，上式變?yōu)?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2．冪律流體,,,,,,,對簡單切變流動，上式變?yōu)?擬塑性流體－剪切稀化流體,紙漿、血液、發(fā)酵液、橡膠,膨脹性流體－剪切稠化流體,淀粉糊、芝麻醬、高濃度含沙黃河水,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3．

17、卡森（Cosson）流體,,,,,,,,對簡單切變流動，上式變?yōu)?,血液、油漆、塑料,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4．帶屈服應力的冪律流體,,,,,,,,對簡單切變流動，上式變?yōu)?,鉆井液、乳制品,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5．羅伯遜

18、-斯蒂夫（Robertson-Stiff）流體,,,,,,,,對簡單切變流動，上式變?yōu)?,,,,,鉆井液等。,A－稠度系數(shù) B－流性指數(shù) C－變形速度校正值。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§3-5 初始條件和邊界條件,,,一、解決非牛頓流體力學問題方法,1、實驗方法,④運用量綱分析等方法整理和分析實驗數(shù)據(jù)，與其它方法或著作所得的結果進行比較，從中總結出流動規(guī)律。,①

19、運用相似理論，針對具體的研究對象確定相似準數(shù)和相似準則；,②依據(jù)模型律來設計和制造模型，確定測量參數(shù)，選擇相應的儀器儀表，建立實驗裝置；,③制定實驗方案并進行實驗；,優(yōu)點：解決復雜的流動問題，能夠根據(jù)觀察到的流動現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)新問題和新的原理，所得的結果可以作為檢驗其他方法的正確性和準確性。,缺點：對于不同的流動需要進行不同的實驗，實驗結果的普遍性稍差。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

20、2、解析方法,④列舉計算實例，然后再與其他方法所得的結果進行比較，以檢驗物理模型和數(shù)學模型的合理性。,①詳細分析問題的物理學本質，通過適當?shù)暮喕⑽锢砟Ｐ停?②運用物理定律建立數(shù)學模型，通常是建立起微分方程或微分方程組，確定流動方程邊界條件和初始條件；,③運用數(shù)學方法求解出流動方程的解析解；,缺點：數(shù)學上的困難比較大，只能對少數(shù)比較簡單的流動給出解析解，所能得到的解析解的數(shù)目是非常有限的。,優(yōu)點：所得到的流動方程的解是精確解，可以明確

21、地給出各個流動參數(shù)之間的函數(shù)關系。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3、數(shù)值方法：,③將流場按照一定的規(guī)則離散成若干個計算點和計算單元；,① ②步驟同解析法① 、②。,④求解出各個節(jié)點上的流動參數(shù)。,缺點：對于復雜而又缺乏完整數(shù)學模型的流動仍然無能為力，其結果仍然需要與實驗研究結果進行對比和驗證。,優(yōu)點：可以求解解析方法及實驗無能為力的復雜流動。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

22、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、初始條件,初始條件是指流動在t=t0的初始時刻，流體運動應滿足的初始狀態(tài)，或是給出流場中各物理量及其對時間的導數(shù)值。,,其中u0(x, y, z)、p0(x, y, z)和ρ0(x, y, z)為已知函數(shù)。,三、邊界條件,邊界條件是指流體運動的邊界上方程組的解應滿足的條件。邊界條件有很多種形式，如固壁邊界條件、無窮遠條件及對稱邊界條件等。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

23、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1、固壁邊界,固壁條件是最常用的邊界條件，存在于固體和流體之間。考慮到流體不能流入固體也不能沿固體壁面滑移。,,式中：uf和us分別表示流體和固體在邊界處的速度。這一條件也稱為粘附條件或無滑移條件。,固壁靜止時可表示為,,2、無窮遠條件,無窮遠條件指在無限大的流場中（如飛機所處的流場），無窮遠處的邊界條件為無窮遠處的相應的流動參數(shù)值。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,