數(shù)字與代碼

1、,第一章 數(shù)制與代碼,1.1 進位計數(shù)制 1.2 數(shù)制轉(zhuǎn)換 1.3 常用代碼,1.1 進 位 計 數(shù) 制 1.1.1 進位計數(shù)制的基本概念 進位計數(shù)制的兩個概念：進位基數(shù)和數(shù)位的權(quán)值。,進位基數(shù)：在一個數(shù)位上，規(guī)定使用的數(shù)碼符號的個數(shù)叫該進位計數(shù)制的進位基數(shù)或進位模數(shù)，記作R。例如十進制，每個數(shù)位規(guī)定使用的數(shù)碼符號為0， 1， 2， …， 9，共10個， 故其進位基數(shù)R=10。  數(shù)位的權(quán)

2、值：某個數(shù)位上數(shù)碼為1時所表征的數(shù)值，稱為該數(shù)位的權(quán)值，簡稱“權(quán)”。各個數(shù)位的權(quán)值均可表示成Ri的形式，其中R是進位基數(shù)，i是各數(shù)位的序號。,某個數(shù)位上的數(shù)碼ai所表示的數(shù)值等于數(shù)碼ai與該位的權(quán)值Ri的乘積。所以，R進制的數(shù),又可以寫成如下多項式的形式：,1.1.2 常用進位計數(shù)制 1. 十進制 在十進制中，每個數(shù)位規(guī)定使用的數(shù)碼為0，1， 2，…, 9，共10個，故其進位基數(shù)R為10。其計數(shù)規(guī)則是“逢十進一”

3、。各位的權(quán)值為10i，i是各數(shù)位的序號。  十進制數(shù)用下標(biāo)“D”表示，也可省略。例如：,十進制數(shù)人們最熟悉， 但機器實現(xiàn)起來比較困難。,2. 二進制 在二進制中，每個數(shù)位規(guī)定使用的數(shù)碼為0，1，共2個數(shù)碼，故其進位基數(shù)R為2。其計數(shù)規(guī)則是“逢二進一”。 各位的權(quán)值為2i，i是各數(shù)位的序號。  二進制數(shù)用下標(biāo)“B”表示。例如：,二進制數(shù)由于只需兩個態(tài)，機器實現(xiàn)容易， 因而二進制是數(shù)字系統(tǒng)唯

4、一認(rèn)識的代碼。但二進制書寫太長。,3. 八進制 在八進制中，每個數(shù)位上規(guī)定使用的數(shù)碼為0，1，2， 3，4，5，6，7，共8個，故其進位基數(shù)R為8。其計數(shù)規(guī)則為“逢八進一”。各位的權(quán)值為8i，i是各數(shù)位的序號。 八進制數(shù)用下標(biāo)“O”表示。例如： (752.34)O=7×82+5×81+2×80+3×8-1+4×8-2 因為23=8，因而

5、三位二進制數(shù)可用一位八進制數(shù)表示。,4. 十六進制 在十六進制中，每個數(shù)位上規(guī)定使用的數(shù)碼符號為0，1， 2，…, 9, A, B, C, D, E, F，共16個，故其進位基數(shù)R為16。其計數(shù)規(guī)則是“逢十六進一”。各位的權(quán)值為16i, i是各個數(shù)位的序號。 十六進制數(shù)用下標(biāo)“H”表示，例如： (BD2.3C)H=B×162+D×161+2×160+3×16-1+C

6、5;16-2 =11×162+13×161+2×160+3×16-1+12×16-2,因為24=16，所以四位二進制數(shù)可用一位十六進制數(shù)表示。 在計算機應(yīng)用系統(tǒng)中，二進制主要用于機器內(nèi)部的數(shù)據(jù)處理，八進制和十六進制主要用于書寫程序，十進制主要用于人機界面，即人們向機器輸送數(shù)和機器輸出最終結(jié)果。,1.2 數(shù) 制 轉(zhuǎn) 換,1.

7、2.1 非十進制轉(zhuǎn)換成十進制。 把非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)采用按權(quán)展開相加法。具體步驟是，首先把非十進制數(shù)寫成按權(quán)展開的多項式，然后按十進制數(shù)的計數(shù)規(guī)則求其和。,例1 (2A.8)H=( ? )D 解 ： (2A.8)H=2×161+A×160+8×16-1 =32+10+0.5=(42.5)D例 2

8、 (165.2)O=( ? )D 解 ： (165.2)O=1×82+6×81+5×80+2×8-1 =64+48+5+0.25=(117.25)D,例3 (10101.11)B=( ? )D解 (10101.11)B=1×24+0×23+1×22+0

9、5;21 +1×20+1×2-1+1×2-2 =16+0+4+0+1+0.5+0.25=(21.75)D,1.2.2 十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進制數(shù) 1. 整數(shù)轉(zhuǎn)換 整數(shù)轉(zhuǎn)換，采用基數(shù)連除法。把十進制整數(shù)N轉(zhuǎn)換成R進制數(shù)的步驟如下：

10、 (1) 將N除以R，記下所得的商和余數(shù)。  (2) 將上一步所得的商再除以R，記下所得商和余數(shù)。 (3) 重復(fù)做第(2)步，直到商為0。  (4) 將各個余數(shù)轉(zhuǎn)換成R進制的數(shù)碼，并按照和運算過程相反的順序把各個余數(shù)排列起來，即為R進制的數(shù)。 ,例 4 (427)D=( ? )H,427 余數(shù) 16 26………

11、… 11=B 最低位 16 1……………10=A 0……………1=1 最高位,(427)D=(1AB)H,即,解,例 5 (427)D=( ? )O,8 427 余數(shù) 8 53………… 3 最低位 8 6……………5 0……………6 最高位,(427)

12、D=(653)O,即,解,例 6 (11)D=( ? )B,2 11 余數(shù) 2 5………… 1 最低位 2 2……………1 2…1………… 0 0……………1 最高位,(11)D=(1011)B,即,解,2. 純小數(shù)轉(zhuǎn)換 純小數(shù)轉(zhuǎn)換，采用基數(shù)連乘法。把十進

13、制的純小數(shù)M轉(zhuǎn)換成R進制數(shù)的步驟如下：  (1) 將M乘以R，記下整數(shù)部分。  (2) 將上一步乘積中的小數(shù)部分再乘以R，記下整數(shù)部分。  (3) 重復(fù)做第(2)步，直到小數(shù)部分為0或者滿足精度要求為止。  (4) 將各步求得的整數(shù)轉(zhuǎn)換成R進制的數(shù)碼，并按照和運算過程相同的順序排列起來，即為所求的R進制數(shù)。 ,例 7 (0.85)D=( ? )H

14、 解 0.85×16=13.6…………13=D 最高位 0.6×16=9.6 …………9=9 0.6×16=9.6 …………9=9 

15、 最低位 即 (0.85)D=(0.D99…)H,…,…,例 8 (0.35)D=( ? )O 解 0.35×8=2.8…………2 最高位 0.8×8=6.4 …………6

16、 0.4×8=3.2 …………3 0.2 ×8=1.6 …………1  最低位即 (0.35)D=(0.26

17、31…)O,…,…,例 9 (11.375)D=( ? )B,2 11 2 5 ………… 1 2 2……………1 2 1 …………...0 0……………1,(11)D=(1011)B,即,解,0.375×2=0.750.75×2=1.50.5×2=1.0(0.375)D=(0.011)B

18、(11.375)D=(1011.011)B,即,故,1.2.3 二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)或十六進制數(shù) 二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)(或十六進制數(shù))時，其整數(shù)部分和小數(shù)部分可以同時進行轉(zhuǎn)換。其方法是：以二進制數(shù)的小數(shù)點為起點，分別向左、向右，每三位(或四位)分一組。對于小數(shù)部分，最低位一組不足三位(或四位)時， 必須在有效位右邊補0，使其足位。然后，把每一組二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制(或十六進

19、制)數(shù)，并保持原排序。對于整數(shù)部分，最高位一組不足位時，可在有效位的左邊補0， 也可不補。,例10 (1011011111.10011)B=( ? )O=( ? )H解 1011011111.100110,1,3,3,7,.,4,6,所以,（1011011111.100110）B=（1337.46）O,1011011111.10011000,2,D,F,.,9,8,即,（1011011111.10011）B=

20、（2DF.98）H,1.2.4 八進制數(shù)或十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù) 八進制(或十六進制)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)時,只要把八進制(或十六進制)數(shù)的每一位數(shù)碼分別轉(zhuǎn)換成三位(或四位)的二進制數(shù)， 并保持原排序即可。整數(shù)最高位一組左邊的0，及小數(shù)最低位一組右邊的0，可以省略。,例11 (36.24)O=( ? )B解 (36.24)O=(011110.010100)B=(11110.0101)B

21、 3 6 . 2 4例 12 (3DB.46)H=( ? )B解 (3DB.46)H=(001111011011. 01000110)B =(1111011011.0100011)B,3,D,B,.,4

22、,6,,1.3 常用代碼,1.3.1 二一十進制碼(BCD碼)  二-十進制碼是用二進制碼元來表示十進制數(shù)符“0~9”的代碼， 簡稱BCD碼。  用二進制碼元來表示“0~9”這10個數(shù)符，必須用四位二進制碼元來表示，而四位二進制碼元共有16種組合，從中取出10種組合來表示“0~9”的編碼方案約有2.9×1010種。 幾種常用的BCD碼如表1-1所示。若某種代碼的每一位都有固定的“權(quán)值”，

23、則稱這種代碼為有權(quán)代碼；否則，叫無權(quán)代碼。,表 1 – 1 幾種常用的BCD碼,1. 8421BCD碼 8421BCD碼是有權(quán)碼，各位的權(quán)值分別為8，4，2，1。雖然8421BCD碼的權(quán)值與四位自然二進制碼的權(quán)值相同，但二者是兩種不同的代碼。8421BCD碼只是取用了四位自然二進制代碼的前10種組合。,2. 余3碼 余3碼是8421BCD碼的每個碼組加0011形成的。其中的0和9，1和8，2和7，3和

24、6，4和5，各對碼組相加均為1111，具有這種特性的代碼稱為自補代碼。  余3碼各位無固定權(quán)值， 故屬于無權(quán)碼。,3. 2421碼 2421BCD碼的各位權(quán)值分別為2，4，2，1， 2421碼是有權(quán)碼，也是一種自補代碼。  用BCD 碼表示十進制數(shù)時，只要把十進制數(shù)的每一位數(shù)碼，分別用BCD碼取代即可。反之，若要知道BCD碼代表的十進制數(shù)，只要把BCD碼以小數(shù)點為起點向左、向

25、右每四位分一組，再寫出每一組代碼代表的十進制數(shù)，并保持原排序即可。,例13 (902.45)D=( ? )8421BCD解 (902.45)D=(100100000010.01000101)8421BC,例14 (10000010.1001)5421BCD=( ? )D解 （10000010. 1001)5421BCD=(52.

26、6)D 5 2 . 6 若把一種BCD碼轉(zhuǎn)換成另一種BCD碼，應(yīng)先求出某種BCD碼代表的十進制數(shù)，再將該十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成另一種BCD碼。 ,例15 (01001000.1011)余3BCD=( ? )2421BCD解 (01001000.1011)余3BCD=(15.8)D=(00011011.1110)2421BCD,例

27、16 (73.4)8=( ? )8421BCD解 (73.4)8=(59.5)10=(01011001.0101)8421BCD,1.3.2 可靠性代碼 為減少錯誤的發(fā)生，或者在發(fā)生錯誤時能迅速地發(fā)現(xiàn)或糾正， 廣泛采用了可靠性編碼技術(shù)。利用該技術(shù)編制出來的代碼叫可靠性代碼，最常用的有格雷碼和奇偶校驗碼。,1. 格雷(Gray)碼 具有如下特點的代碼叫格雷碼：

28、 任何相鄰的兩個碼組(包括首、 尾兩個碼組)中，只有一個碼元不同。 格雷碼的編碼方案很多，典型的格雷碼如表1 - 2所示，表中同時給出了四位自然二進制碼。,表 1 – 2 典型的Gray碼,…一位反射對稱軸,…二位反射對稱軸,…三位反射對稱軸,…四位反射對稱軸,2. 奇偶校驗碼 奇偶校驗碼是一種可以檢測一位錯誤的代碼。它由 信息位和校驗位兩部分組成。  信息位可以是任何一種二進制代碼。它

29、代表著要傳輸?shù)脑夹畔?。校驗位僅有一位，它可以放在信息位的前面，也可以放在信息位的后面。其編碼方式有兩種：  (1) 使每一個碼組中信息位和校驗位的“１”的個數(shù)之和為奇數(shù)，稱為奇校驗。  (2) 使每一個碼組中信息位和校驗位的“１”的個數(shù)之和為偶數(shù)，稱為偶校驗。表1 - 3給出了8421BCD奇偶校驗碼。,表 1 – 3 帶奇偶校驗的8421BCD碼,1.3.3 字符代碼 對各個字母

30、和符號編制的代碼叫字符代碼。字符代碼的種類繁多，目前在計算機和數(shù)字通信系統(tǒng)中被廣泛采用的是ASCII碼(American Standard Code for Information Interchange，美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼)，其編碼表如表1 - 4所示。,讀碼時，先讀列碼B7B6B5，再讀行碼B4B3B2B1，則B7B6B5B4B3B2B1即為某字符的七位ASCII碼。例如字母K的列碼是100，行碼是1011，所以K的七位ASCII