分析力學(xué)復(fù)習(xí)與例題 殷德京

1、,分析力學(xué)復(fù)習(xí)與習(xí)題課,考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的、具有理想約束的系統(tǒng)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有,令系統(tǒng)有任意一組虛位移,系統(tǒng)的總虛功為,,§5.3.1 動(dòng)力學(xué)普遍方程,—— 動(dòng)力學(xué)普遍方程,任意瞬時(shí)作用于具有理想、雙面約束的系統(tǒng)上的主動(dòng)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零。,1 動(dòng)力學(xué)普遍方程,動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式,動(dòng)力學(xué)普遍方程 適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有定常約

2、束的系統(tǒng)，也適用于具有非定常約束的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有完整約束的系統(tǒng)，也適用于具有非完整約束的系統(tǒng)。,動(dòng)力學(xué)普遍方程 既適用于具有有勢(shì)力的系統(tǒng)，也適用于具有無(wú)勢(shì)力的系統(tǒng)。,?動(dòng)力學(xué)普遍方程 主要應(yīng)用于已知主動(dòng)力求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,? 應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍方程 求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，重要的是正確分析運(yùn)動(dòng)，并在系統(tǒng)上施加慣性力。,? 由于 動(dòng)力學(xué)普遍方程 中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆

3、開。,? 應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍方程 ，需要正確分析主動(dòng)力和慣性力作用點(diǎn)的虛位移，并正確計(jì)算相應(yīng)的虛功。,,動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用,解：1、分析運(yùn)動(dòng)，施加慣性力,2、本系統(tǒng)有一個(gè)自由度，令其有一虛位移 ?x。,3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,,其中：,?,例 題 2,離心調(diào)速器,已知：,m1－球A、B 的質(zhì)量；m2－重錘C 的質(zhì)量；l－桿件的長(zhǎng)度；?－ O1 y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度。,求：,?－ ? 的關(guān)系。,解： 不考慮摩擦力，

4、這一系統(tǒng)的約束為理想約束；系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。取廣義坐標(biāo) q = ?,1、分析運(yùn)動(dòng)、確定慣性力,球A、B繞 y軸等速轉(zhuǎn)動(dòng)；重錘靜止不動(dòng)。,球A、B的慣性力為,,2、令系統(tǒng)有一虛位移??。A、B、C 三處的虛位移分別為?rA、?rB、 ?rC 。,3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,根據(jù)幾何關(guān)系，有,,3、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,,求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圓輪質(zhì)心C2相對(duì)于三棱 柱加速度ar

5、。,解：1、分析運(yùn)動(dòng),三棱柱作平動(dòng)，加速度為 a1。,圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的牽連加速度為ae= a1 ；質(zhì)心的相對(duì)加速度為ar；圓輪的角加速度為?2。,解：2、施加慣性力,解：3、確定虛位移,考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。,第一組,第二組,二自由度系統(tǒng)具有兩組虛位移：,解：4、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,,令：,解：4、應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程,,令：,解：5、求解聯(lián)立方程,,此即拉格朗日方程,如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有

6、勢(shì)力，根據(jù)有勢(shì)力的廣義主動(dòng)力,2 拉格朗日(Lagrange)方程,引入拉格朗日函數(shù),L＝T－V,得到主動(dòng)力為有勢(shì)力的拉格朗日方程,如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，根據(jù)有勢(shì)力的廣義主動(dòng)力,對(duì)于只具有完整約束、自由度為 N 的系統(tǒng)，可以得到由 N 個(gè)拉格朗日方程組成的方程組。,應(yīng)用拉格朗日方程，一般應(yīng)遵循以下步驟：,? 首先，要判斷約束性質(zhì)是否完整、主動(dòng)力是否有勢(shì)，決定采用哪一種形式的拉格朗日方程。,? 其次，要確定系統(tǒng)的

7、自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo)。,? 按照所選擇的廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能或廣義力。,? 將動(dòng)能或拉格朗日函數(shù)、廣義力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的應(yīng)用,,解：1、系統(tǒng)具有一個(gè)自由度， 取 ? 為其廣義坐標(biāo)。,2、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,其中：,3、計(jì)算廣義力：,4、應(yīng)用拉格朗日方程,,解：1、系統(tǒng)具有二個(gè)自由度， 取 x、? 為其廣義坐標(biāo)。,2、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,其中：

8、,3、計(jì)算廣義力：,(1)令：,(2)令：,4、應(yīng)用拉格朗日方程,解得：,例 題 6,質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l 的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。A端的小圓輪與剛度系數(shù)為k 的彈簧相連，并可在滑槽內(nèi)上下滑動(dòng)。彈簧的原長(zhǎng)為l0。,求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,?,k,解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。,2、系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x, ?), x 坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)的下方。,解：3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)

9、能：不計(jì)彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)的動(dòng)能即為AB桿的動(dòng)能,速度vC的確定,系統(tǒng)的勢(shì)能由彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能所組成，以O(shè)點(diǎn)為共同的勢(shì)能零點(diǎn)：,拉格朗日函數(shù),4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,,解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。,2、系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x, ?), x 坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)處。,3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,速度vC的確定,系統(tǒng)的勢(shì)能由彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能所組成：,拉格朗日函數(shù),4、應(yīng)用拉格朗

10、日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,,解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動(dòng)力為有勢(shì)力。,2、系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(? , ? )。,3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：,建立隨質(zhì)心O1平動(dòng)的坐標(biāo)系O1 x1 y1,3、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能：,系統(tǒng)的勢(shì)能：,拉格朗日函數(shù),4、應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,,,,? 達(dá)朗貝爾原理在形式上將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題化為靜力學(xué)平衡問題。,? 虛位移原理給出了質(zhì)點(diǎn)系平衡的充分與必要

11、條件。,? 通過達(dá)朗貝爾原理可以將虛位移原理推廣應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，得到達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程，即第一類拉格朗日方程，又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程，用于求解具有理想約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)第二類問題，即已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。,,結(jié)論與討論,? 第一類拉格朗日方程，即達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程，又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。,達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)。,達(dá)朗貝爾－拉格朗日方程既適用于具有定常約束的系統(tǒng)，也適