高考球例題復習精講

1、處理球的處理球的“內切內切”“外接外接”問題問題與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接。作為這種特殊的位置關系在高考中也是考查的重點，但同學們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置及球心的位置，畫好截面圖是關鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內切、外接球問題一、棱錐的內切、外接球問題例1.正四面體的外接球和內切球的半徑是多少？分析：運用正四面體的二心合一性質，作出截面圖，通過點、

2、線、面關系解之。解：如圖1所示，設點是內切球的球心，正四面體棱長為由圖形的Oa對稱性知，點也是外接球的球心設內切球半徑為，外接球半徑為OrR正四面體的表面積223434aaS???體正四面體的體積22221234331BEABaAEaVBCDA??????322212233123aaaa???????????，BCDAVrS???體31?aaaSVrBCDA12631223323??????體在中，，即，得，得BEORt?222EOBE

3、BO??22233raR??????????aR46?rR3?【點評】由于正四面體本身的對稱性可知，內切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即內切球的半徑為(為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中4hh43h建立棱長與半徑之間的關系。OBERt?例2設棱錐的底面是正方形，且，，如果的面積為1，ABCDM?MDMA?ABMA?AMD?試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.解：解：平面，????ABMAABA

4、DAB?MAD由此，面面.記是的中點，?MADACEAD從而.平面，ADME???MEACEFME?設球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖OMADACMBC2，得截面圖及內切圓MEF?O不妨設平面，于是是的內心.?OMEFOMEF?設球的半徑為，則，設.OrMFEMEFSrMEF????2aEFAD??1??AMDS?圖2圖1正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點處，由球心、底面中心及底面一頂點構成的直角三角形便可得球半徑。

5、例4.已知三棱柱的六個頂點在球上，又知球與此正三棱柱的5個面都相切，111CBAABC?1O2O求球與球的體積之比與表面積之比。1O2O分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系。解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側棱和它們的球心作截面，1O2O1AA設正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱aaR632?的高為，由中，得aRh3322??ODARt11?22222221125633333aaaRaR????????

6、?????????????????????，aR1251??，1:5::222121???RRSS1:55:21?VV練習：正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，求正四棱柱的側面積的最大1111DCBAABCD?R值。（答案為：）224R【點評】“內切”和“外接”等有關問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間關系，然后把相關的元素放到這些關系中解決問題，作出合適的截面圖來確定有關元素間的數量關系，是解決這類問題的

7、最佳途徑。典型例題典型例題1——球的截面球的截面例1球面上有三點、、組成這個球的一個截面的內接三角形三個頂點，其中，ABC18?AB、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積24?BC30?AC分析：分析：求球的表面積的關鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內接三角形，ABC?由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關系式求出球半徑222dRr??R解：解：∵，，，18?AB24?B