八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第三十二講 幾何不等式

1、第三十二講第三十二講幾何不等式幾何不等式1三角形的不等關(guān)系是研究許多幾何不等問(wèn)題的基礎(chǔ)，這種不等關(guān)系分為兩類：一類是在同一三角形中進(jìn)行比較；一類是在兩個(gè)三角形中比較這里主要方法是把要比較的邊或角如何轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形或適當(dāng)安排在兩個(gè)三角形之中2在同一個(gè)三角形中有關(guān)邊或角不等關(guān)系的證明，常有以下定理：(1)三角形任何兩邊之和大于第三邊(2)三角形任何兩邊之差小于第三邊(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角(4)同一三角形中大邊

2、對(duì)大角(5)同一三角形中大角對(duì)大邊例題求解例題求解【例1】如圖192，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分別在AB、CD上且AE=CF求證：)(21BCADEF??思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥如圖所示，延長(zhǎng)AD至D1使DD1=BC，延長(zhǎng)BC至Cl，使CCl=AD，連結(jié)ClDl，則ABC1Dl是平行四邊形，ABCD和CDDlCl是兩個(gè)全等的梯形，在D1C1上取一點(diǎn)G使D1G=AE，連結(jié)FG和EG由AE=CF，則EF=FG，又EG=AD

3、1=ADBC，∴2EF=EFFG≥EG=ADBC即)(21BCADEF??注當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F落在EG上時(shí)，即E為AB的中點(diǎn)時(shí)，結(jié)論中的等號(hào)成立證明這類不等式的一個(gè)常用方法是能過(guò)添加輔助線，把要比較大小的線段或角集中到一個(gè)三角形中，或者適當(dāng)?shù)匕才旁趦蓚€(gè)三角形中，以便應(yīng)用上述基本不等式關(guān)系【例2】如圖193，△ABC中，ABAC，BE、CF是中線，求證：BECF思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥將BE、CE分別平移到FG、FD，則四邊形EFDC為平行四邊形，作F

4、H⊥BC于H∴ABAC，且F，E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴FBCE∴FBFD，由勾股定理得：HBHD，即FBFD又∵GH=GBBH=EFBH=DCBHCDDH=CH，即GHCH，∴GFCF即BECF【例3】如圖194，在等腰△ABC中，AB=AC，D為形內(nèi)一點(diǎn)，∠ADC∠ADB，求證：DBDC思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥把△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)△BAC至△ACD′，連接DD′，則AD=AD【例6】如圖1912，在△ABC中，P、Q、R將其周

5、長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB上，求證：92???ABCPQRSS思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥易想到作△ABC和△PQR的高，將三角形的面積比化成線段的乘積比，并利用平行線截線段成比例定理，把其中兩條高的比轉(zhuǎn)換成三角形邊上線段的比如圖1912，作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，則ACABARPQCLABRHPQSSABCPQR????????不妨設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為1，則PQ=，AB－31316161?又ACAD，故，ahb?同理可證，bhc?cha?∴，