導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率關(guān)系

1、導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系（1）靜電平衡條件下導(dǎo)體表面的電荷分布是一個復(fù)雜的靜電學(xué)問題。它不僅與導(dǎo)體表面的曲率有關(guān)。而且與導(dǎo)體本身的形狀、周圍導(dǎo)體和介質(zhì)的分布及帶電狀態(tài)有關(guān)。一般情況下對孤立導(dǎo)體它也不是與曲率有簡單正比關(guān)系。下面我們通過帶電旋轉(zhuǎn)橢球形導(dǎo)體的例子加以說明。橢球面的數(shù)學(xué)表達式是比較簡單的，當(dāng)它的三個半軸相等時，它就變成球；細長的橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球就相當(dāng)于細長棒；細長橢圓繞短

2、鈾旋轉(zhuǎn)時形成的橢球就相當(dāng)于平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。無論什么形狀的導(dǎo)體決定電荷平衡分布的唯—條件是導(dǎo)體內(nèi)部各點的場強必須為零。凡是能滿足這個條件的分布，便是實際存在的分布。根據(jù)這個條件，以及靜電場的基本性質(zhì)求解橢球上的電荷分布，是一個典型的電磁學(xué)問題要用到較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，本書不嚴格處理這一問題。這里用一個不夠嚴格的方法導(dǎo)出其結(jié)果。假沒我們考慮的是一個旋轉(zhuǎn)橢球如圖9.8所示，它有兩個焦點O1和O2。表面電荷的分布

3、使橢球內(nèi)任一點的合場強為零。一般說來，這是表面所有的電荷綜合抵消的結(jié)果。但是對于焦點O1和O2，很巧，這種抵消是一對一的。過焦點O1作一個小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面dS和dS2，嚴格的理論證明，dS上的電荷在O1產(chǎn)生的場強與O2上的電荷在O1產(chǎn)生的場強恰恰抵消，因此整個橢球面上的電荷在O1產(chǎn)生的場強之和為零。循著這一途徑，便可找出表面電荷分布的規(guī)律。設(shè)dS處電荷密度為σ1，距O1的距離為r1，dS上的電量dq1=dSσ1，這部

4、分電荷在O1產(chǎn)生的場強dE1應(yīng)為：而dS=dScosα1。α1是r1與dS2表面法線n1間的夾角。同時，dΩ1是dS1對O1所張的立體角。因此有：用同樣的方法，可以得到dS2在O1產(chǎn)生的場強dE2為：dl是橢圓上的一段弧長，經(jīng)過計算可知K并不簡單地與cosα成正比，因此，α也不是簡單地與K成正比，它們之間是一個很復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。曲率大的地方電荷密度大只能說是一個大致的、定性的規(guī)律，不能簡單地依據(jù)兩處的曲率來比較它們的電荷密度。（2）狐立

5、導(dǎo)體表面能否出現(xiàn)電荷異號面一個孤立導(dǎo)體的表面會不會出現(xiàn)異號的面電荷分布呢例如，如圖9.10所示導(dǎo)體中凹陷進去的地方的曲率為負值，會不會出現(xiàn)異號面荷分布。結(jié)論是不可能。對此可以借助電力線用反證法證明。設(shè)圖中導(dǎo)體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現(xiàn)負面電荷分布，則該處要會聚電力線。會聚于凹陷處的電力線只有兩個可能的來源：一種可能是來自無窮遠處，一種可能來自導(dǎo)體上的正電荷。假設(shè)無窮遠處為零電勢點，對來自無窮遠處的電力線，則沿此電力線求場強的線積分會