小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（五）

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（五）課程教材研究所王永春五、方程和函數(shù)思想1方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進行討論。(1)方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件：一個是含有未知數(shù)，另一個是必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑問的判斷題：χ=0和χ=1是不

2、是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號（常用χ、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。(2)函數(shù)思想。設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系?，如果對于

3、集合Ａ中的任意一個數(shù)χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱y是χ的函數(shù)，記作y＝?(χ)。其中χ叫做自變量，χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與χ相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍Ｂ叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函

4、數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝πrh。半徑和高有一對取值，體積就會相應(yīng)地有一個取值；也就是說，體積隨著半徑和高的變化而變化。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一次方程。因此，可以說求這個一元一次方程的解，實際上就是求使

5、函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求一次函數(shù)圖象與χ軸交點的橫坐標的值。一般地，就初等數(shù)學(xué)而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求函數(shù)圖象與χ軸交點的橫坐標的值。3.方程和函數(shù)思想的重要意義。16世紀以前，人們主要是應(yīng)用算術(shù)和方程方法解決現(xiàn)實生活中的各種實際問題，方程與算術(shù)相比，由于未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的構(gòu)建，更加便于人們理解問題、分析數(shù)量關(guān)系并構(gòu)建模型，因而

6、方程在解決以常量為主的實際問題中發(fā)揮了重要作用。到了17世紀，隨著社會的發(fā)展，傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以探究兩個變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟、科技、軍事等領(lǐng)域的重要問題，這時函數(shù)便產(chǎn)生了。函數(shù)為研究運動變化的數(shù)量之間的依存、對應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來了方便，從而能夠解決比較復(fù)雜的問題。概括地說，方程和函數(shù)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的不可替代的作用。4

7、.方程和函數(shù)思想的具體應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)方程之前的問題，都通過算術(shù)方法解決。在引入方程之后，小學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題，都可以通過方程解決，方程思想是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，其中一元一次方程是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)里沒有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，但是有函數(shù)思想的滲透，與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容。另外，在小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識中也會滲透函數(shù)思想，如數(shù)與數(shù)的一一對應(yīng)體現(xiàn)了函數(shù)思想。方程和函