第02講 初等數(shù)論-2009-2017全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分類匯編

1、20092017全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分類匯編第02講：初等數(shù)論1、（2010一試8）方程滿足的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是.2010???zyxzyx??()xyz【答案】336675易知，所以100420096100331?????k110033100420096?????k，即.200410052006123200910052006?????????3356713343351003????k從而滿足的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.zyx??3366753356

2、7110031???2、（2011一試8）已知C，則數(shù)列中整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為?na??)9521(2162003200?????????????nnnnna【答案】15【解析】C?na65400320020023nnn????要使為整數(shù)，必有均為整數(shù)，從而)951(??nan654003200nn??4|6?n當(dāng)28142026323844505662687480時(shí)，和均為非負(fù)整數(shù)，所以為整?n3200n?65400n?na數(shù)，共有14個(gè)當(dāng)

3、時(shí)，C，在C中，中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為86?n?86a5388620023???!114!86!20086200??!200，1972200220022002200220022002200765432?????????????????????????????????????????????????同理可計(jì)算得中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為82，中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為110，所以C中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為!86!11486200，故是整數(shù)511082197???86a當(dāng)時(shí)

4、，C，在C中，同樣可求得中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為88中因數(shù)2的92?n?92a10369220023???!108!92!20092200??!92!108個(gè)數(shù)為105故C中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為，故不是整數(shù)86200410588197???92a先考慮的情況.mn?此時(shí)，注意到互素，故為正整數(shù).相應(yīng)地，分別等于331314)(mnamnaa??33nm31mal?4321aaaa，它們均為正整數(shù).這表明，對(duì)任意給定的，滿足條件并以為公比的等比lnlm

5、nnlmlm32231??mnqq數(shù)列的個(gè)數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，即.4321aaaa1003?lnl]100[3n由于，故僅需考慮這些情況，相應(yīng)的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為10053?3442332?q.20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[??????????當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，亦有20個(gè)滿足條件的等比數(shù)列.mn?4321aaaa綜上可知，共有40個(gè)滿足條件的有序數(shù)組.)(4321aaa

6、a5、（2017一試4）若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差均不超過1，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是.【答案】756、（2009二試3）設(shè)，是給定的兩個(gè)正整數(shù)證明：有無窮多個(gè)正整數(shù)，使得與互素klmk≥Ckml【解析】證法一：對(duì)任意正整數(shù)，令我們證明t(!)mktlk??????C1kml?，設(shè)是的任一素因子，只要證明：p|plCkm若p|k!，則由1!C()kkmikmki?????1[((!)]kiitlk????1kii???