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1、1第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一、填空題(每小題5分,共20分)1計(jì)算__,其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.???????yxyxxyyxDdd1)1ln()(D1??yx2設(shè)是連續(xù)函數(shù),且滿足則____________.)(xf????2022d)(3)(xxfxxf?)(xf3曲面平行平面的切平面方程是__________.2222???yxz022???zyx4設(shè)函數(shù)由方程確定,其中具
2、有二階導(dǎo)數(shù),且,則_____.)(xyy?29ln)(yyfexe?f1??f?22ddxy二、(5分)求極限,其中是給定的正整數(shù).xenxxxxneee)(lim20?????n三、(15分)設(shè)函數(shù)連續(xù),,且,為常數(shù),求并討論)(xf??10d)()(txtfxgAxxfx??)(lim0A)(xg?在處的連續(xù)性.)(xg?0?x四、(15分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界,試證:00|)(???????yxyxDLD(1);(2).??
3、?????LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin2sinsin25dd?????Lyyxyeyxe五、(10分)已知,,是某二階常系數(shù)線性非齊次微分xxexey21??xxexey???2xxxeexey????23方程的三個(gè)解,試求此微分方程.六、(10分)設(shè)拋物線過原點(diǎn).當(dāng)時(shí)又已知該拋物線與軸及直線cbxaxyln22???10??x0?yx所圍圖形的面積為.試確定使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積
4、最小.1?x31cbax七、(15分)已知滿足且求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之)(xun)21()()(1??????nexxuxuxnnnneun?)1(???1)(nnxu和.八、(10分)求時(shí)與等價(jià)的無窮大量.??1x???02nnx3第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一計(jì)算下列各題(共3小題,每小題各5分,共15分)(1).求;(2).求;11cos0sinlimxxxx????????111lim...12nnn
5、nn??????????????(3)已知,求。??2ln1arctanttxeyte?????????22dydx二(10分)求方程的通解。????2410xydxxydy??????三(15分)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且均不為??????“000fff0,證明:存在唯一一組實(shí)數(shù),使得123kkk????????12320230lim0hkfhkfhkfhfh?????。四(17分)設(shè),其中,,為與22212
6、22:1xyzabc????0abc???2222:zxy????1?的交線,求橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。2?1??五(16分)已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分()取22310xyz??????0z?上側(cè),是S在點(diǎn)處的切平面,是原點(diǎn)到切平面的距離,表示???Pxyz??xyz?????S的正法向的方向余弦。計(jì)算:(1);(2)??SzdSxyz?????3SzxyzdS???????六(12分)設(shè)
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