全國大學生數(shù)學競賽大綱數(shù)學專業(yè)組

1、—1—中國大學生數(shù)學競賽競賽大綱中國大學生數(shù)學競賽競賽大綱(數(shù)學專業(yè)組數(shù)學專業(yè)組)中國大學生數(shù)學競賽（數(shù)學專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學本科數(shù)學專業(yè)基礎課的教學內(nèi)容，即，數(shù)學分析占50%，高等代數(shù)占35%，解析幾何占15%，具體內(nèi)容如下：Ⅰ、數(shù)學分析部分、數(shù)學分析部分一、集合與函數(shù)一、集合與函數(shù)1.實數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)A間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理.2.上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集

2、、閉集、有界（無界）集、上的2A2A閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推nA廣.3.函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關的性質(zhì).二、極限與連續(xù)二、極限與連續(xù)1.數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）.2.數(shù)列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用.1

3、lim(1)nnen????3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大sin10lim1lim(1)xxxxxxe??????量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關系.4.函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部

4、有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）.三、一元函數(shù)微分學三、一元函數(shù)微分學1.導數(shù)及其幾何意義、可導與連續(xù)的關系、導數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性.2.微分學基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Tayl公式(Peano余項與Lagrange余項).3.一元微分學的應用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、

5、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達（LHospital）法則、近似計算.四、多元函數(shù)微分學四、多元函數(shù)微分學1.偏導數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導數(shù)，混合偏導數(shù)與順序無關性，二元函數(shù)中值定理與Tayl公式.2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導方法、反函數(shù)組與坐標變換.3.幾何應

6、用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法.—3—Ⅱ、高等代數(shù)部分、高等代數(shù)部分一、一、多項式多項式1.數(shù)域與一元多項式的概念2.多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法3.互素、不可約多項式、重因式與重根.4.多項式函數(shù)、余數(shù)定理、多項式的根及性質(zhì).5.代數(shù)基本定理、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解.6.本原多項式、Gauss引理、有理

7、系數(shù)多項式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根.7.多元多項式及對稱多項式、韋達(Vieta)定理.二、二、行列式行列式1.n級行列式的定義.2.n級行列式的性質(zhì).3.行列式的計算.4.行列式按一行（列）展開.5.拉普拉斯(Laplace)展開定理.6.克拉默(Cramer)法則.三、線性方程組線性方程組1.高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解.2.n維向量的運算與向量組.3.向

8、量的線性組合、線性相關與線性無關、兩個向量組的等價.4.向量組的極大無關組、向量組的秩.5.矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關系.6.線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu).7.齊次線性方程組的基礎解系、解空間及其維數(shù)四、四、矩陣矩陣1.矩陣的概念、矩陣的運算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運算)及其運算律.2.矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關系.3.矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.4.分塊矩陣及其運算與性質(zhì).5