2019年高考數(shù)學一輪（北師大版理科） 專題突破練4 立體幾何中的高考熱點問題 理 北師大版

1、 1 專題突破練 專題突破練(四) 立體幾何中的高考熱點問題 立體幾何中的高考熱點問題 (對應學生用書第 293 頁) 1．如圖 7 所示，已知直三棱柱 ABC­A1B1C1中，△ABC 為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且 AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為 B1A，C1C，BC 的中點．求證： 圖 7 (1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF. [證明] (1)如圖，建立空間直角坐標系 A­

2、xyz，令 AB＝AA1＝4， 則 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)． 取 AB 中點為 N，連接 CN， 則 N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)，∴DE →＝NC →，∴DE∥NC. 又∵NC 平面 ABC，DE? 平面 ABC. 故 DE∥平面 ABC. (2)B1F →＝(－2,2，－4)，EF

3、→＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B1F →⊥EF →，B1F →⊥AF →，即 B1F⊥EF，B1F⊥AF. 又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面 AEF. 2．(2018·貴州適應性考性)

4、如圖 8(1)，在等腰直角三角形 ABC 中，∠B＝90°，將△ABC 沿中位線 DE 翻折得到如圖 8(2)所示的空間圖形，使二面角 A­DE­C 的大小為 θ? ? ?? ? ? 0＜θ＜π2 . 3 則有? ? ? ? ?n·AB →＝0，n·AC →＝0，即? ? ?x－ 3z＝0，x＋4y－ 3z＝0，令 z＝1，則 x＝ 3，y＝0，則 n＝( 3，0,1)， 設 AE 與平

5、面 ABC 的夾角為 α， 則 sin α＝|AE →·n||AE →||n|＝ 64 . 3．(2018·北京海淀區(qū)期末練習)如圖 9，在三棱錐 P­ABC 中，側棱 PA＝2，底面三角形 ABC 為正三角形，邊長為 2，頂點 P 在平面 ABC 上的射影為 D，AD⊥DB，DB＝1. 圖 9 (1)求證：AC∥平面 PDB； (2)求二面角 P­AB­C 的余弦值； (3)線段 PC

6、 上是否存在點 E 使得 PC⊥平面 ABE，如果存在，求CECP的值；如果不存在，請說明理由． [解] (1)證明：因為 AD⊥DB，且 DB＝1，AB＝2， 所以 AD＝ 3，所以∠DBA＝60°. 因為△ABC 為正三角形， 所以∠CAB＝60°， 所以 DB∥AC. 因為 AC? 平面 PDB，DB 平面 PDB， 所以 AC∥平面 PDB. (2)由點 P 在平面 ABC 上的射影為 D 可得 PD⊥平面