01 第一節(jié) 中值定理

1、第三章中值定理與導數(shù)的應用從第二章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道導致微分學產生的第三類問題是“求最大值和最小值”.此類問題在當時的生產實踐中具有深刻的應用背景例如求炮彈從炮管里射出后運行的水平距離(即射程)其依賴于炮筒對地面的傾斜角(即發(fā)射角).又如在天文學中求行星離開太陽的最遠和最近距離等.一直以來導數(shù)作為函數(shù)的變化率在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義因而在自然科學、工程技術以及社會科學等領域中得到廣泛的應用.在第二章中我們介紹了微分學

2、的兩個基本概念—導數(shù)與微分及其計算方法.本章以微分學基本定理—微分中值定理為基礎進一步介紹利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)例如判斷函數(shù)的單調性和凹凸性求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法最后還討論了導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用.第一節(jié)中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質與該區(qū)間內部某一點的導數(shù)之間的關系因而稱為中值定理.中值定理既是用微分學知識解決應用問題的理論基礎又是解決微分學自身發(fā)展的一種理論性模型因而稱為微分中值定理.分布圖示

3、分布圖示★費馬引理★羅爾定理★例1★例2★例3★例4★例5★拉格朗日中值定理★例6★例7★例8★例9★柯西中值定理★例10★例11★內容小結★課堂練習★習題31內容要點：內容要點：一、羅爾定理羅爾定理：在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；在開區(qū)間(ab)內可導；在區(qū)間端點的函數(shù)值相等即結論：在(ab)內至少存在一點使得).()(bfaf?)(ba????.0)(???f注：羅爾定理的三個條件是十分重要的如果有一個不滿足定理的結論就可能不成立.分別舉

4、例說明之.羅爾定理中這個條件是相當特殊的它使羅爾定理的應用受到限制.拉格朗)()(bfaf?日在羅爾定理的基礎上作了進一步的研究取消了羅爾定理中這個條件的限制但仍保留了其余兩個條件得到了在微分學中具有重要地位的拉格朗日中值定理.區(qū)間和內.)21()32(例3(E02)證明方程有且僅有一個小于1的正實根.0155???xx證設則在上連續(xù)，且由介值定理115)(5????xxxf)(xf]10[.3)1(1)0(???ff存在使即為方程的小

5、于1的正實根.設另有使)10(0?x0)(0?xf)10(011xxx??.0)(1?xf因為在之間滿足羅爾定理的條件所以至少存在一點(在之間)，使得)(xf10xx?10xx但導致矛盾，故為唯一實根..0)(???f0)1(5)(4????xxf))10((?x0x例4設為滿足的實數(shù)試證明方程naaaa321?012)1(3121???????naaann?0)12cos(3coscos21?????xnaxaxan?在內至少存在一個

6、實根.)20(?證作輔助函數(shù))12sin(1213sin31sin)(21xnanxaxaxfn???????顯然在上連續(xù)，在內可導，故由羅爾定理知0)2()0(???ff)(xf]20[?)20(?至少存在一點使即)20(???0)(???f0)12cos(3coscos)(21???????????naaafn?從而題設方程在內至少有一個實根.)20(?例5設在上連續(xù)在內可導且證明:存在)(xf][ba)(ba.0)()(??bfa

7、f使成立.)(ba??)()(??ff??證從結論倒退分析知，可引進輔助函數(shù))()(xexfx???由于易知在上滿足羅爾定理條件，且0)()(??ba??)(x?][ba)()()(xxexfexfx???????因此，在內至少存在一點使即)(ba)(ba??0)(????0)()(?????????efef因所以0???e).()(??ff??例6驗證函數(shù)在上滿足拉格郎日中值定理并由結論求值.xxfarctan)(?]10[?解在上連