2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、 1.若 k∈R,則方程 x2k+3+ y2k+2=1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的充要條件是( ) A.-3-2 D.k>-2 解析:選 A.由題意可知,? ? ? ? ?k+3>0,k+20,b>0)漸近線上的一點(diǎn),E、F 是左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若EP →· FP →=0,則雙曲線的方程為( ) A.x23-y24=1 B.x24-y23=1 C.x29-y216=1 D.x216-y

2、29=1 解析:選 C.設(shè) E(-c,0)、F(c,0),于是有EP →· FP →=(3+c,-4)· (3-c,-4)=9-c2+16=0.于是 c2=25.排除 A, B.又由 D 中雙曲線的漸近線方程為 y=± 3 4x, 點(diǎn) P 不在其上排除 D.故選C. 3.已知雙曲線x2a-y22=1 的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(- 3,0),則其漸近線方程為_(kāi)_______. 解析:由 a+2=3,可得 a=1,∴雙

3、曲線方程為 x2-y22=1, ∴其漸近線方程為 x±y2=0,即 y=± 2x.故填 y=± 2x. 答案:y=± 2x 4.設(shè) P 是雙曲線x2a2-y29=1 上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為 3x-2y=0,F(xiàn)1,F(xiàn)2 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3,則|PF2|等于________. 解析:由漸近線方程可得 a2=4,a=2,根據(jù)雙曲線定義||PF1|-|PF2||=4,即

4、|PF2|-3=4, ∴|PF2|=7. 答案:7 一、選擇題 1.若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為 32 ,則雙曲線x2a2-y2b2=1 的漸近線方程為( ) A.y=± 1 2x B.y=± 2x C.y=± 4x D.y=± 1 4x 解析:選 A.由題意 a2-b2a = 32 ,所以 a2=4b2. 故雙曲線的方程可化為 x24b2-y2b2

5、=1, 故其漸近線方程為 y=± 1 2x. 2.(2012· 保定質(zhì)檢)已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是( ) ∴雙曲線的方程為x22-y2=1. 答案:x22-y2=1 8.設(shè) F1、F2 分別是雙曲線 x2-y29=1 的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn) P 在雙曲線上,且PF1 → · PF2 → =0,則|PF1 → +PF2 → |=________. 解析:

6、因?yàn)?F1、 F2 分別是雙曲線 x2-y29=1 的左、 右焦點(diǎn), 所以 F1(- 10, 0), F2( 10, 0). 由題意知|PF1 → +PF2 → |=2|PO → |=|F1F2|=2 10. 答案:2 10 三、解答題 9.已知橢圓 D:x250+y225=1 與圓 M:x2+(y-5)2=9,雙曲線 G 與橢圓 D 有相同焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓 M 相切,求雙曲線 G 的方程. 解:橢圓 D 的兩個(gè)焦點(diǎn)為

7、F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),因而雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上,且 c =5. 設(shè)雙曲線 G 的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), ∴漸近線方程為 bx± ay=0 且 a2+b2=25, 又圓心 M(0,5)到兩條漸近線的距離為 r=3. ∴ |5a|b2+a2=3,得 a=3,b=4, ∴雙曲線 G 的方程為x29-y216=1. 10.已知雙曲線 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>

8、;0)的離心率為 3,且a2c = 33 . (1)求雙曲線 C 的方程; (2)已知直線 x-y+m=0 與雙曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A,B,且線段 AB 的中點(diǎn)在圓 x2+y2=5 上,求 m 的值. 解:(1)由題意,得? ? ? a2c = 33 ,c a= 3,解得 a=1,c= 3, ∴b2=c2-a2=2, ∴所求雙曲線 C 的方程為 x2-y22=1. (2)設(shè) A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2

9、), 線段 AB 的中點(diǎn)為 M(x0,y0), 由? ? ? ? ?x2-y22=1,x+y+m=0,得 x2-2mx-m2-2=0(判別式 Δ>0), ∴x0=x1+x22 =m, y0=x0+m=2m, ∵點(diǎn) M(x0,y0)在圓 x2+y2=5 上, ∴m2+(2m)2=5,∴m=± 1. 11.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn) F1,F(xiàn)2 在坐標(biāo)軸上,離心率為 2,且點(diǎn)(4,- 10)在 雙曲線上. (1)求

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