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1、1第八章第八章分支與限界分支與限界8.1分支與限界法的基本思想一、基本思想:1、在結(jié)點估算沿著它的各兒子結(jié)點搜索時,目標(biāo)函數(shù)可能取得的“界”,_e2、把兒子結(jié)點和目標(biāo)函數(shù)可能取得的“界”,保存在優(yōu)先隊列或堆中,3、從隊列或堆中選取“界”最大或最小的結(jié)點向下搜索,直到葉子結(jié)點,_e4、若葉子結(jié)點的目標(biāo)函數(shù)的值,是結(jié)點表中的最大值或最小值,則沿葉子結(jié)點到根結(jié)點的路徑所確定的解,就是問題的最優(yōu)解,由該葉子結(jié)點所確定的目標(biāo)函數(shù)的值,就是解這個問
2、題所得到的最大值或最小值二、目標(biāo)函數(shù)“界”的特性:是部分解,是相應(yīng)的界)()(211kxxxx??)()(211kxxxboundxbound??1、對最小值問題,稱為下界,意思是向下搜索所可能取得的值最小不會小于這些下界。若是所得到的部分解,滿足:)(21kxxxX??(8.1.1))()()(21211kxxxboundxxboundxbound?????2、對最大值問題,稱為上界,意思是向下搜索所可能取得的值最大不會大于這些上界。
3、若是所得到的部分解,滿足:)(21kxxxX??)()()(21211kxxxboundxxboundxbound?????三、兩種分支方法:設(shè)解向量,的取值范圍為有窮集,,。)(21nxxxX??ixiSiinS?||ni??11、每棵子樹都有個分支:in最壞情況下,結(jié)點表的空間為,)(21nnnnO????若狀態(tài)空間樹是完全叉樹,,結(jié)點表的空間為。nnnnnn?????21)(nnO2、每棵子樹只有兩個分支,取特定值的分支、及不取特
4、定值的分支:ix狀態(tài)空間樹是完全二叉樹,最壞情況下結(jié)點表的空間為)2(nO8.2貨郎擔(dān)問題有向賦權(quán)圖,頂點集。)(EVG?)(110??nvvvV?為圖的鄰接矩陣,表示頂點到頂點的關(guān)聯(lián)邊的長度,又把稱為費用矩陣。cijcivjvc3定義定義8.2對費用矩陣的每一行和每一列都進行行歸約和列歸約,得到一個新的費用c矩陣,使得中每一行和每一列至少都有一個元素為0,稱為費用矩陣的歸約。矩陣稱ccc為費用矩陣的歸約矩陣。稱常數(shù)hc(8.2.1)?
5、???????1010niiniichlhh為矩陣的歸約常數(shù)。c例:對圖8.1(a)中的費用矩陣進行歸約,得到圖8.1(c)所示歸約矩陣。歸約常數(shù)h為484761525???????h3、歸約矩陣與哈密爾頓回路的關(guān)系定理定理8.1有向賦權(quán)圖,的哈密爾頓回路,的費用矩陣,是以)(EVG?GlGc)(lw計算的回路費用。是的歸約矩陣,歸約常數(shù)為,是以計算的回路費用,有:ccch)(lwc(8.2.2)hlwlw??)()(證明證明和分別是和
6、的第行第列元素,ijcijcccij,jiijijchlhcc???10???njiji是以計算的哈密爾頓回路的費用,令)(lwc???ljiijclw)(是計算的同一條哈密爾頓回路的費用,令)(lwc???ljiijclw)(由引理8.1,回路上的邊對應(yīng)于中每行每列各一個元素。有chlwchlhcclwnjjniiljiijljiij????????????????)()(1010定理證畢。定理定理8.2有向賦權(quán)圖,是的最短哈密爾頓回
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