第七章《現(xiàn)代控制論部分》

1、第七章 狀態(tài)空間描述法,7.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,7.2 狀態(tài)方程求解,7.3 可控性與可觀測(cè)性,,,,7.4 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器,,End,控制理論的發(fā)展,經(jīng)典控制論：,現(xiàn)代控制論：,大系統(tǒng)理論、智能控制理論：,時(shí)間：本世紀(jì)30-50年代對(duì)象：線性定常，單輸入輸出系統(tǒng)方法：傳遞函數(shù)，頻域特性,時(shí)間：本世紀(jì)50-70年代對(duì)象：時(shí)變、離散、非線性的多輸入輸出系統(tǒng)方法：時(shí)域，線性代數(shù)，狀態(tài)空間,時(shí)間：本世紀(jì)60年代

2、末-今對(duì)象：復(fù)雜系統(tǒng)，交叉學(xué)科，生醫(yī)、信號(hào)處理、軟件算法方法：人工智能，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模糊集，運(yùn)籌學(xué),現(xiàn)代控制論的 五個(gè)分支：,建模和系統(tǒng)辨識(shí)最優(yōu)濾波理論最優(yōu)控制自適應(yīng)控制,線性系統(tǒng)理論,線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制論的基礎(chǔ)最完善，技術(shù)上較為成熟，應(yīng)用最廣泛的部分主要研究線性系統(tǒng)在輸入作用下?tīng)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的規(guī)律和改變這些規(guī)律的可能性與措施建立和揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、動(dòng)態(tài)行為和性能之間的關(guān)系主要研究?jī)?nèi)容包括狀態(tài)空間描述、能空性、能觀性

3、和狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測(cè)等,現(xiàn)代控制論 VS 經(jīng)典控制論,,經(jīng)典控制論,以微分方程或傳遞函數(shù)為描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型常采用頻域分析法分析系統(tǒng)特性表達(dá)系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系只描述系統(tǒng)的外部特性，不反應(yīng)內(nèi)部各物理量的變化僅僅考慮零初始條件，不足以揭示系統(tǒng)全部特性,現(xiàn)代控制論,采用狀態(tài)空間表達(dá)式作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用時(shí)域分析系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系狀態(tài)空間表達(dá)式是一階矩陣-----向量微分方程組揭示系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)

4、律，反應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的全部信息,7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念,(5) 狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微 分方程（組）：,(6) 輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù) 學(xué)表達(dá)式：,(7) 狀態(tài)空間表達(dá)式： (5)+(6).,(4) 狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸構(gòu)成

5、 的n維空間,7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間,1. ?先看一個(gè)例子： 例7.1 試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型。,,思考和第二章建模的區(qū)別,,“經(jīng)典”是高階微分，一個(gè)方程，無(wú)中間變量“現(xiàn)代”是一階微分，一個(gè)方程組，有中間變量,經(jīng)典控制論中：n階系統(tǒng) n階微分方程 只是輸入與輸出的關(guān)系

6、，無(wú)中間變量現(xiàn)代控制論中：n階系統(tǒng) n個(gè)一階微分方程 體現(xiàn)輸入，輸出與各個(gè)中間變量的線性關(guān)系,在已知ur(t)的情況下，只要知道 uc(t)和i(t)的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故uc(t)和i(t)稱(chēng)為“狀態(tài)變量”。記,,,,轉(zhuǎn)換成矩陣方程,一階矩陣微分方程式,7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念,(1) 狀態(tài)：

7、,系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況,(2) 狀態(tài)變量：,能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量：,,表示系統(tǒng)在 時(shí)刻的狀態(tài),若初值 給定， 時(shí)的 給定， 則狀態(tài)變量完全確定系統(tǒng)在 時(shí)的行為。,,淡化了輸出的概念，都?xì)w結(jié)為狀態(tài)變量已知輸入及所有狀態(tài)變量，就能刻畫(huà)整個(gè)系統(tǒng),如上例中, 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，

8、 為狀態(tài)變量。,(3) 狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量 作為分量的向量，即,7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念,(5) 狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微 分方程（組）：,(6) 輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù) 學(xué)表達(dá)式：,(7) 狀態(tài)空間表達(dá)式： (5)

9、 (6).,(4) 狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸構(gòu)成 的n維空間,,求上述RLC電路的狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)方程,輸出方程,狀態(tài)空間表達(dá)式,,其中,狀態(tài)空間表達(dá)式就是用狀態(tài)向量將狀態(tài)方程和輸出表示出來(lái),求上述RLC電路的狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)空間表達(dá)式,,狀態(tài)空間表達(dá)式,1)

10、選取 n個(gè)狀態(tài)變量；確定輸入、輸出變量；,,建立狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟,狀態(tài)變量、輸入變量、參數(shù),輸出變量、狀態(tài)變量、輸入變量、參數(shù),2)根據(jù)系統(tǒng)微分方程列出n個(gè)一階微分方程；,3)根據(jù)系統(tǒng)微分方程，列出m個(gè)代數(shù)方程。,結(jié)論：(1)狀態(tài)變量選取具有非唯一性。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)?系統(tǒng)的階次；,(2)狀態(tài)變量具有獨(dú)立性；,(3)不同組狀態(tài)變量之間可做等價(jià)變換?線性變換。,三. 狀態(tài)變量的選取,1. 狀態(tài)變量的選取是非唯一的。 2. 選

11、取方法 ?（1）可選取初始條件對(duì)應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 ?（2）可選取獨(dú)立儲(chǔ)能（或儲(chǔ)信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc 、質(zhì)量m 的速度v 等。,系統(tǒng)的狀態(tài)變量選取是不唯一的（對(duì)應(yīng)空間的基不唯一）不同組狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)的表達(dá)形式不同變量的個(gè)數(shù)是唯一的，等于系統(tǒng)的階數(shù)（空間的維度）,例7.3 已知系統(tǒng)微分方程組為,其中，ur 為輸入，uc 為

12、輸出，R1、C1、 R2、C2為常數(shù)。試列寫(xiě)系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。,解：,選,寫(xiě)成向量—矩陣形式：,,,,四. 狀態(tài)空間表達(dá)式,1. 單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng),SISO系統(tǒng)中，y和u是標(biāo)量MIMO系統(tǒng)中，y和u是向量,所有狀態(tài)分量的一階導(dǎo)是其他狀態(tài)分量與輸入的線性組合,2. 一般線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（p輸入q輸出）,3. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,不管X再怎么狀態(tài)改變，輸出只與狀態(tài)變量有關(guān)，與狀態(tài)變量的改變無(wú)關(guān),

13、五. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1. 方法:機(jī)理分析法、實(shí)驗(yàn)法 2. 線性定常單變量系統(tǒng)(單輸入—單輸出系統(tǒng)) (1) 由微分方程建立,① 在輸入量中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：,微分方程有幾階，就有幾個(gè)狀態(tài)變量,?寫(xiě)成向量---矩陣形式,,例7.4 已知系統(tǒng)微分方程為,列寫(xiě)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,解：選,反過(guò)來(lái)，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，求傳遞函數(shù),,,② 輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)法,設(shè)控制系統(tǒng)由下列 n 階微

14、分方程來(lái)描述,這時(shí)，不能簡(jiǎn)單地把 選作狀態(tài)變量，即不能采用上述的方法。因?yàn)椴捎蒙鲜龇椒ɑ梢浑A微分方程組,這樣，最后一個(gè)方程中包含了輸入信號(hào) 的各階導(dǎo)數(shù)，系統(tǒng)將得不到唯一解。,② 輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)法,手段：引入變量，改變方程組形式目標(biāo)：生成的狀態(tài)方程組右邊不能有u的導(dǎo)數(shù)方法：,① 可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn),② 能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn),③ 對(duì)角線規(guī)范實(shí)現(xiàn),④ 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn),不同的狀態(tài)變量選

15、取方法獲得的對(duì)系統(tǒng)不同的表示方式,① 可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn),分子階數(shù)小于分母階數(shù),,傳遞函數(shù)多項(xiàng)式表達(dá)形式,,反拉普拉斯,,,,和前面一致,令狀態(tài)變量,B）bn≠0,分子分母同階,與上面做法相同,例7.5 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn),,,,解: 由 bn=b3=0,對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型,可得實(shí)現(xiàn)為,例7.6 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn),解: 由 bn=b3≠0, 對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型,總

16、結(jié)：能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),寫(xiě)成狀態(tài)方程和輸出方程,正常情況下，n≥m。,,分母首位系數(shù)為1,例 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試求出其對(duì)應(yīng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。,解:,首先把G(s)分母中s最高次項(xiàng)系數(shù)變成1,用2除G(s)的分母與分子,得,直接寫(xiě)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型:,?與能控規(guī)范型關(guān)系： A*=AT，B*=CT，C*=BT,,② 能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn),能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：其系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系,而前者的b為后

17、者的CT,前者的CT為后者的b。具有這種結(jié)構(gòu)關(guān)系的稱(chēng)為互有對(duì)偶關(guān)系。,例7.7 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試求其能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)。,反過(guò)來(lái)，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，求傳遞函數(shù),③ 對(duì)角線規(guī)范實(shí)現(xiàn),,,,,重點(diǎn)在于 ， 與傳遞函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,?結(jié)構(gòu)圖,,,信號(hào)流圖,解：,則對(duì)角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)為,的對(duì)角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)圖 。,例7.8 求,? 當(dāng)G(s)有重極點(diǎn)時(shí)，設(shè)-pi中有k重極點(diǎn),④ 約當(dāng)規(guī)范型

18、實(shí)現(xiàn)----特征方程有重根時(shí),,,,,,,,,,,,,,,對(duì)角塊,約當(dāng)塊,④ 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)----特征方程有重根時(shí),,,例7.9,由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù),已知,其取拉式變換：,,,例如：某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,,求其傳遞函數(shù),7.2 狀態(tài)方程求解,線性定常連續(xù)系統(tǒng),1. 齊次狀態(tài)方程的解,（1） 冪級(jí)數(shù)法設(shè)解為：,,,⑵ 拉氏變換法,由 兩邊取拉氏變換， 得

19、 SX(s)-X(0)=AX(s) (SI﹣A)X(s)=X(0) X(s)=(SI﹣A)-1.X(0)兩邊取拉氏反變換 x(t)= L-1[X(s)]= L-1[(SI-A)-1 X(0)] = L-1 [(SI-A)-1] X(0)比較前式，有eAt= L-1 [(S

20、I-A)-1],,△ 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì),ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+(1/k！)Aktk+…⑴ ф(0)=I─初始狀態(tài),(2),⑶ ф(t1±t2)=ф(t1)ф(±t2) =ф(±t2)ф(t1) ----- 線性關(guān)系 ⑷ ф-1(t)=ф(-t)， ф-1(-t)=ф(t) ----- 可逆性 ⑸ x(

21、t)=ф(t-t0)x(t0) ∵ x(t0)=ф(t0)x(0),,,則 x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)] =ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)（6）ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0) = e (t2-t1)Ae(t1-t0)A

22、—— 可分階段轉(zhuǎn)移,⑺ [ф(t)]k =ф(kt)⑻ e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA) e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt (AB≠BA)⑼ 引入非奇異變換 后，⑽ 兩種常見(jiàn)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,,例7.13 設(shè)有一控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為,在t0=0時(shí)，狀態(tài)變量的初值為[x1(0) x2(0) x3(0)], 試求該方程的

23、解。,,試求A及ф(t) 。,例7.14 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,,?解方程組得， ф11(t)=2e-t –e-2t, ф12(t)= 2e-t－2e-2t ф21(t)=-e-t +e-2t, ф22(t)=-e-t+2e-2t,例7.15 設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為,式中a、b、c均為實(shí)數(shù)，試求： ⑴ 求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。 ⑵ 求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,,2. 非齊

24、次狀態(tài)方程 的解,,⑴ 直接法（積分法）,(2) 拉氏變換法,sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s) (sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s) x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)則 x(t)=￡-1[(sI-A)-1x(0)]+￡-1[(sI-A)-1Bu(s)] (由eAt=￡-1[(sI-A)-1]可得)

25、,,例7.16 在上例中，當(dāng)輸入函數(shù)u(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。,,例7.17 設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng)，已知系統(tǒng)方塊圖如下,所示。試用狀態(tài)空間法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析 。,解：由圖,,,7.3 可控性與可觀測(cè)性,,本章主要內(nèi)容：線性定常系統(tǒng)的可控性的定義及判別線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性的定義及判別可控性與可觀測(cè)性的對(duì)偶原理可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型,可控性：反映了控制輸入對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的制約能力。

26、 輸入能否控制狀態(tài)（控制問(wèn)題）,可觀性：反映了輸出對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的判斷能力。 狀態(tài)能否由輸出反映（估計(jì)問(wèn)題）,7.3 可控性與可觀測(cè)性,能控性和能觀性是現(xiàn)代控制論中的兩個(gè)重要的基本概念,現(xiàn)代控制論建立在狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上,狀態(tài)方程：輸入u(t)引起的狀態(tài)x(t)的變化過(guò)程,輸出方程：狀態(tài)變化對(duì)輸出的影響,,能控性：分析u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力能觀性：分析y(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的反應(yīng)能力,

27、-------（控制問(wèn)題）,-------（估計(jì)問(wèn)題）,例2-1：已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，判斷其可控性、可觀測(cè)性。,可以控制,無(wú)法反映,系統(tǒng)完全可控！,系統(tǒng)不完全可觀！,,? 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,如果存在一個(gè)控制u(t)，能在有限時(shí)間間隔[to,tf]內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)x(to)轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)x(tf) ，則稱(chēng)此狀態(tài)x(to)是完全可控的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。,二、定義

28、,1.  可控性定義,三、可控性與可觀測(cè)性判據(jù),系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入u(t)作用下，對(duì)任意初始時(shí)刻to ，若能在有限時(shí)間間隔[to,tf]之內(nèi)，根據(jù)從to到tf對(duì)系統(tǒng)輸出y(t)的觀測(cè)值和輸入u(t)，唯一地確定系統(tǒng)在to時(shí)刻的狀態(tài)x(to) ，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可（能）觀測(cè)。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能（可）觀測(cè)，則系統(tǒng)不可觀測(cè)）。,2.  可觀測(cè)性定義,?可控規(guī)范型：,,1.  可控性判據(jù),線性

29、定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是可控性判別陣： 必須滿秩。即 （n為系統(tǒng)維數(shù)）,判據(jù)一：,試判別其狀態(tài)的可控性。,解：,例7.18 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,,系統(tǒng)可控！,設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值，則系統(tǒng)可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型方程：,中， 陣不包含元素全為零的行。,判據(jù)二:,例7.19 已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程, 試判別其狀態(tài)的可控性。,解

30、：,,不可控！,例7.20 試確定如下幾個(gè)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型系統(tǒng)的可控性。,,√,×,√,×,例7.21 試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性。,中，與每個(gè)約當(dāng)小塊 的最后一行相對(duì)應(yīng) 的 陣 中的所有那些行，其元素不全為零。（若兩個(gè)約當(dāng)塊有相同特征值，此結(jié)論不成立。）,約當(dāng)規(guī)范型,,判據(jù)三：,√,×,判據(jù)一: 線性定常

31、連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件為可觀測(cè)性矩陣:,2.  可觀測(cè)性判據(jù),必須滿秩，即 rankQo=n（n為系統(tǒng)維數(shù)）,?可觀測(cè)規(guī)范型：,,例7.22 已知系統(tǒng)的A, C陣如下，試判斷其可觀性。,例9.23 試判別如下系統(tǒng)的可觀測(cè)性。,解：,解：,,√,×,的矩陣 中不包含元素全為零的列。,設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值, 則其狀態(tài)可觀測(cè)的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型:,例7.24

32、 試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性.,,判據(jù)二:,√,中,與每個(gè)約當(dāng)塊 首行相對(duì)應(yīng)的矩陣 中的那些列,其元素不全為零。(如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征值, 此結(jié)論不成立)。,約當(dāng)規(guī)范型,,判據(jù)三:,例7.25 試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。,,√,×,1）可控可觀測(cè)的充要條件： 由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消（即傳遞函數(shù)可約）。 2）可

33、控的充要條件： (SI-A)-1b不存在零極點(diǎn)對(duì)消。 3）可觀測(cè)的充要條件： c(SI-A)-1不存在零極點(diǎn)對(duì)消。,四、 能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,例7.26 判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測(cè)性。,,1.  單輸入單輸出系統(tǒng),例7.27 系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，判斷其可控性與可觀測(cè)性。,2.  多輸入多輸出系統(tǒng),1）可控的

34、充要條件： (SI-A)-1B 的n行線性無(wú)關(guān)。2）可觀測(cè)的充要條件： C(SI-A)-1 的n列線性無(wú)關(guān)。,例7.28 用兩種方法驗(yàn)證：系統(tǒng)（1）的狀態(tài)可控性；系統(tǒng)（2）的狀態(tài)可觀測(cè)性。,,例7.29,,,,,五、對(duì)偶原理,設(shè)系統(tǒng) S1(A1,B1,C1) 與系統(tǒng) S2(A2,B2,C2) 互為對(duì)偶系統(tǒng)，則:,若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可控，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)

35、可觀測(cè)；若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可觀測(cè)，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可控；證明：,,六、線性系統(tǒng)的規(guī)范分解*,例7.30 判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測(cè)性。,,線性系統(tǒng)可分解為四種系統(tǒng)：,能控 能觀測(cè)1? √ √2. √ ?3. ? √4. ? ?,,,1. 能控性規(guī)

36、范分解,定理 n 階系統(tǒng)(A,B,C)，rankQc=k<n，則通過(guò)非奇異變換,可導(dǎo)出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng) (Ac , Bc , Cc)，有,為能控子系統(tǒng)。,,5-3,? Tc的求法：,i) 從QC中任選k (rankQC=k) 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，它為T(mén)c的前k列：V1, V2, ···, Vk ； ii) 在Rn中再選n-k個(gè)列向量，記為Vk+1,·&#

37、183;·, Vn , 需使得：,為非奇異。,設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能控性；若不完全能控，試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解。,例7.31,解 系統(tǒng)能控性判別陣,rankQc=2<n=3 ,,所以系統(tǒng)是不完全能控的。,,其中Tc3是任意的，只要能保證Tc非奇異即可。變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,即,,?能控子系統(tǒng)為,,為能觀測(cè)子系統(tǒng)。,,可將原系統(tǒng)變換為按能觀測(cè)規(guī)范分解的新系統(tǒng) (Ao , Bo , Co)，有,5-4,

38、定理 n 階系統(tǒng)(A, B, C)， rankQo=r<n，通過(guò)非奇異變換，,xo為r 維能觀測(cè)狀態(tài)分量；,是（n-r）維不能觀測(cè)的狀態(tài)分量。,2. 能觀測(cè)性規(guī)范分解,,,? To-1的求法:,i) 從Qo中任選r(rankWo=r)個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量，作為T(mén)o-1的前r 個(gè)行向量。 ii) 在Rn中再選（n-r）個(gè)行向量，構(gòu)成To-1，并使To-1為非奇異。 例7.32 設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀

39、測(cè)性；若不完全能觀測(cè)，試將該系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。,解 系統(tǒng)能觀測(cè)性判別陣,rankQo=2<n,所以系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的。,,即,變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,,?能觀測(cè)子系統(tǒng)為,3. 線性系統(tǒng)的規(guī)范分解,引理 系統(tǒng)(A, B, C)完全能控且完全能觀測(cè)的充要條件是：,證明 能控的充要條件：rankQc=n      能觀的充要條件：rankQo=n

40、 又由Sylvester不等式：,其中，,因此，系統(tǒng)完全能控且完全能觀測(cè)，則必有,定理 不完全能控、不完全能觀測(cè)的n階系統(tǒng)(A, B, C),則可通過(guò)非奇異變換 ,將原系統(tǒng)(A, B, C)變換為按能控性和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）有：,能 控 √√ ? ?能觀測(cè) √ ? √ ?,為能控且能觀測(cè)子系

41、統(tǒng)。,5-5,?按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行規(guī)范分解的步驟:,是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測(cè)的，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。,可只須經(jīng)過(guò)一次變換對(duì)系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，但變換陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。 (1) 先將系統(tǒng)按能控性分解； (2) 將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解； (3) 將能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)

42、性分解； (4) 綜合以上三次變換，導(dǎo)出系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式。 例7.33 已知系統(tǒng),解 前例已將該系統(tǒng)按能控性分解,,不能控子空間是能觀測(cè)的，無(wú)需再進(jìn)行分解。將能控子空間按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。,即,?綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性分解為,本 節(jié) 總結(jié),,1.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式