第七章概率論基礎(chǔ)

1、概率論研究的對象是什么？,,現(xiàn)象,確定現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象,引 言,第七章 概率論基礎(chǔ),問題提出,1.水從高處流向低處；2.水的沸點攝氏100度(標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下);3.太陽不會從西邊升起.,確定性現(xiàn)象: 在一定條件下必然發(fā)生(必然不發(fā)生)的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象,例1. 拋擲硬幣，出現(xiàn)正面還是反面？,例 2. 車站等車人數(shù)。,例 3. 同一種病用同一種藥的結(jié)果,概率論研

2、究的對象是：隨機(jī)現(xiàn)象,概率論研究的對象是隨機(jī)現(xiàn)象，研究隨機(jī)現(xiàn)象什么問題呢？,在大量試驗或觀察中, 這種隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種結(jié)果具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , （舉例）。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.,本章主要內(nèi)容：1、隨機(jī)事件及其概率2、隨機(jī)變量及其分布和數(shù)字特征3、大數(shù)定律和中心極限定理,概率論在氣象、生物學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)、軍事等各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。,第一節(jié) 隨機(jī)事件及其概率,第二節(jié)

3、概率基本運算法則 及其應(yīng)用,第三節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布,第四節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,第五節(jié)* 大數(shù)定律和中心極限定理,,7.1.1 隨機(jī)事件,7.1.2 事件關(guān)系及運算,7.1.3 隨機(jī)事件的概率,第一節(jié) 隨機(jī)事件及其概率,隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.,問題 什么是隨機(jī)試驗?,7.1.1 隨機(jī)事件,1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;,2. 每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試

4、驗的所有可能結(jié)果;,3. 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,定義1： 在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機(jī)試驗.,隨機(jī)試驗（簡稱試驗）,說明 ：隨機(jī)試驗簡稱為試驗，通常用 E 來表示,實例 “拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.,分析:,(1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;,(2) 試驗的所有可能結(jié)果:,字面、花面;,(3) 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).,故為隨機(jī)試驗.,1.“拋擲一枚骰子,

5、觀察出 現(xiàn)的點數(shù)”.,2.“從一批產(chǎn)品中,依次任 選三件,記錄出現(xiàn)正品 與次品的件數(shù)”.,同理可知下列試驗都為隨機(jī)試驗,3.考察某地區(qū) 10 月份的 平均氣溫.,在隨機(jī)試驗中, 可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。用A,B,C表示，如擲一枚骰子,,,所有基本事件組成的集合，成為樣本空間，記為Ω，不包含任何基本事件的空集記作 Ø,,事件A與B相等；記作A =B，表示A B并且B

6、 A. 例如: …,,,A + B,AB,AB,幾個成立的等式,例1 設(shè)有三人做尿常規(guī)化驗，用A表示至少有一人不正常，B表示三人都正常，C表示三人中恰有一人不正常，試問哪些是對立事件？哪些是互斥事件？B+C,A∩C,A – C各表示何實際意義？,解：事件A與B是對立的，事件B與C和事件A與B均是互斥事件，B +C表示最多一人不正常，A∩C=C表示恰有一個人不正常，A – C表示至少有二人不正常,例2 設(shè)A、B、C三事件，則如何

7、表示：1、A發(fā)生而B與C都不發(fā)生可表示為,2、A與B都發(fā)生而C不發(fā)生可表示為,3、這三個事件恰好發(fā)生兩個可表示為,4、這三個事件不多于一事件發(fā)生可表示為,5、A、B、C不都發(fā)生可表示為,定義2：大量重復(fù)試驗（觀察）Ｎ次，Ａ出現(xiàn)m次，事件A的頻率為：頻率W(A)=,一、頻率和概率的統(tǒng)計定義,,,7.1.3 隨機(jī)事件的概率,,1.非負(fù)性：0≤W(A) ≤1,3.可加性: 若A與B是兩個不會同時發(fā)生的事件，以A+B表示A或B至少出現(xiàn)

8、其一這個事件，則 W(A+B)=W(A)+W(B),頻率的性質(zhì)：,2.規(guī)范性: Ω為必然事件，則 W(Ω)=1， Ø為不可能事件，則W(Ø)=0,例3 表7-1 擲幣試驗,結(jié)論：大量重復(fù)試驗，出現(xiàn)正面頻率接近50%。思考：少量的試驗（如7次）能否出現(xiàn)同樣結(jié)果？,例4 表7-2 英文字母使用頻率分布,結(jié)論：可能性的大小具有穩(wěn)定性,注1：頻率與試驗有關(guān)，是不確定的數(shù)，但概率是事件的客觀屬性，是

9、確定的數(shù).注2：給出一個求概率的方法,,如果在某一組條件下，當(dāng)試驗次數(shù)越來越多，事件A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近作微小擺動，稱常數(shù)p為事件A的概率。記作P(A)=p.,定義3（概率的統(tǒng)計定義）,例5人類的血型可以分成A、B、O和AB四種類型，倫敦的一個血液中心記錄了若干年里供血者的血型，其O型頻率0.467，A型頻率0.417，B型頻率0.086，AB型頻率0.030，那么以頻率表示概率，從英國人中隨意抽出一人驗血型是B型

10、的概率為：P（B）=0.086，同理P（AB）=0.03， P（O）=0.467， P（A）=0.417,醫(yī)學(xué)應(yīng)用,1.非負(fù)性：0≤P(A) ≤1,2.規(guī)范性: Ω為必然事件，則 P(Ω)=1，Ø為不可能事件，則P(Ø)=0,3.可加性: 若A與B是兩個不會同時發(fā)生的事件，以A+B表示A或B至少出現(xiàn)其一這個事件，則 P(A+B)=P(A)+P(B),（統(tǒng)計）概率的性質(zhì)：,二、概率的古典定義,定義4：若隨機(jī)試驗

11、有且只有n個基本事件，且每個基本事件的概率都為1/n, 則稱為等概基本事件組.如B事件是其中m個基本事件之和，則B發(fā)生的概率為: P(B)=m/n,例6 瓶中裝有30片藥，其中6片已經(jīng)失效，現(xiàn)從瓶中任取5片，求其中2片失效的概率？,解：設(shè)B為“現(xiàn)從瓶中任取5片，其中2片失效”的事件 n=C305=142506 m=C62C243=30360,P(B)= C62C243 /C305=0.213,例7

12、設(shè)有n個球，每個都能以同樣的概率1/m落到m個格子（m≥n）的每一個格子中，試求:,2.任何n個格子中各有一球的概率？,1.指定的n個格子中各有一球的概率；,解：∵每個球可落入m（≥n）個格子中的任一個,∴n個球在m個格子中的排列相當(dāng)于從m個元素中選取n個進(jìn)行有重復(fù)的排列，,故共有mn種基本事件總數(shù),第一題，n個球在指定的n個格子中全排列n！因此概率為n！/mn,第二題，從m個格子中任意選出n個格子，有Cmn種，對于每種選定的n個

13、格子，如第一題的全排列n！，所求基本事件的個數(shù)為Cmn·n!,,故概率為Cmn·n！/ mn,第二節(jié) 概率基本運算法則 及其應(yīng)用,,7.2.1 概率的加法定理,7.2.2 條件概率和乘法公式,7.2.3 事件的獨立性,7.2.4 全概率公式與貝葉斯公式,問題提出,則 A+B包含的基本事件共有M1＋M2個，于是得,證：,按概率的古典定義來證明,設(shè)試驗的可能結(jié)果是由N個基本事件總數(shù)構(gòu)成，

14、其中事件A包含M1個，事件B包含M2個，,由于事件A與B互不相容，所以A包含的基本事件與B包含的基本事件一定是完全不相同的，,7.2.1 概率的加法定理,定理1 兩個互不相容事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A+B)＝P(A)+P(B)。,推論1 若A1, A2,…，An是n個兩兩互不相 容事件，則有 P(A1+A2+…+An) ＝P(A1)+P(A2)+…+P(An),推論2 事件A

15、的逆事件 的概率為,定理2 設(shè)A，B為任意二事件，則P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB),,證明：如圖 A+B=A+(B-A) B=AB+(B-A),事件A與事件B-A互不相容，事件AB與事件B-A互不相容,根據(jù)定理1 得P(A+B)=P(A+(B-A))=P(A)+P(B-A) P(B)=P(AB+(B-A))=P(AB)+P(B-A),所以 P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB),推論3 若A，B，C為

16、任意三個事件，則P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC)-P(BC)+P(ABC),例8 一批針劑共50支，其中45支是合格品，5支是不合格品，從這批針劑中取3支.求其中有不合格品的概率。,解: 設(shè)A為“取到3支針劑中有不合格品”事件, Ai為“取到3支針劑中有i支是不合格品”事件,i=1,2,3,顯然A1,A2,A3互不相容,且A= A1+A2+A3,由定理1知P(A)=,另解法:由推論2可

17、得P(A),P(A1)+P(A2)+P(A3),= 0.276,例9 胃癌病人接受過手術(shù)(A)、放療(B)、中藥治療(C)的各有1/2．同時受過兩種治療方法的各有1/4 ，接受過三種治療有1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大?,解：先求至少得到一種治療的概率,于是所求的概率,7．2．2 條件概率和乘法公式,有許多實際問題，除要知道事件B的概率外，往往還要知道在事件A已發(fā)生的條件下B出現(xiàn)的概率．則這種概率

18、可認(rèn)為條件概率,簡記為P(B／A)。,例如，在美國某大學(xué)高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴(yán)重程度和有無心絞痛分類。各組病人數(shù)如下表,以A表示任選一名高血壓病人是重型患者，以B表示病人無心絞痛史， P(A)=45／306，P(B)＝281/306，P(AB)＝38/306,如果已經(jīng)知道一名病人是重型，且無心絞痛史的條件概率P(B／A)是多少?,重型且無心絞痛的人數(shù),重型人數(shù),重型且無心絞痛人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率,

19、重型人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率,定義5 對事件A，B， 若P(A)＞0，則稱 P(B/A)＝P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率,同理 對事件A，B， 若P(B)＞0，則稱 P(A/B)＝P(AB)/P(B)為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率,定理3 兩事件的積事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積： P(AB)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／

20、B),概率的乘法公式可以推廣有限多個事件的情形。例如，對于三個事件A,B,C P(ABC)＝P((AB)C)＝P(AB)P(C/AB) ＝P(A)P(B／A )P(C/AB),例10 在某一人群中，聾子(A)的概率是0.005，盲人(B)的概率是0.0085，而聾子中是盲人的概率為0.12，求盲人中聾子的概率?,解： P(A)=0.005 P(B)=0.0085 P(B/A)=0.12 P(A/B)=?,P(A/

21、B)=,7.2.3事件的獨立性,對于任意事件A，B,通常條件概率P(B／A)與概率P(B)是不相等的，即一個事件發(fā)生改變了另一個事件發(fā)生的概率，說明事件A與B有聯(lián)系，但是．生活中也有另外的一種情況存在，一個事件的發(fā)生與否不會影響另一事件的概率(P(B／A)＝P(B))。,問題提出,定義6 設(shè)A，B 兩事件，如果P(B／A)＝P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。,若A與B相互獨立，則P(B／A)=P(B)，又有乘法公式P(AB)＝P

22、(A)P(B／A)于是，P(AB)＝P(A)P(B)成立。反之亦然。,定理4 事件A與事件B相互獨立的充分必要條件是P(AB)＝P(A)P(B).,例11 有—種治療流行性感冒的新藥，在500名流行病人中，有的服了這種藥(A)，有的沒有服這種藥( )，經(jīng)5天后，有的痊愈(B)，有的未痊愈( )，各種情況的人數(shù)見下表，其中170表示服藥后痊愈(AB)的人數(shù)，其余類似。試判斷這種新藥對流感是否有效？,解：,因為P(B)與P(B/A

23、)幾乎相等，故認(rèn)為A與B相互獨立。表明服藥和不服藥對療效影響不大，新藥對流感沒有意義。,例12 考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，第一次出生的是女孩的用A表示，第二次出生是男孩的B表示，說明A與B二事件是否相互獨立。,解： 兩個孩子家庭按出生先后順序排列共有四種可能結(jié)果：(女、女)，(女、男)，(男，女)，(男，男)；P(A)=2/4 P(B)＝2/4 P(AB)＝1/4 顯然P(AB)＝P(A)P(B)，所以

24、A與B相互獨立，即A發(fā)生的條件下，不影響B(tài)的概率。,例14 某藥廠的針劑車間灌裝—批合格注射液，需經(jīng)4道工序，從長期生產(chǎn)經(jīng)驗知，由于切割時掉入玻璃屑成廢品的概率為0.4％。由于安 洗滌不潔成廢品的概率為0.2％．灌裝時污染劑液成廢品的概率為0.1％，由于封口不密成廢品的慨率為0.6％，求四道工序都合格概率。,解: 4個工序相互獨立。設(shè)Ai表示“第i道工序合格品”，i=1,2,3,4,P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(

25、A3)P(A4)=(1-0.004)(1-0.002)(1-0.001) (1-0.006)=0.9871,7.2.4 全概率公式與貝葉斯公式,定理5（全概率公式）設(shè)A1 A2,…An是兩兩互不相容事件，且P(Ai)>0；,,,,,,,,,,A2,A1,A3,A5,A4,An,B,證明： 如圖,A1 A2,…An是兩兩互不相容事件,例15 設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙廠生

26、產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種X光片的次品率分別是 1／10，1／15，1／20，從這10盒中任取—盒，再從取出的這盒中任取一張X光片，抽到的X光片是正品的概率?,解： 設(shè)A1,A2,A3分別表示取得的X光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，B表示x光片是正品。,P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20,例17 設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同

27、樣規(guī)格的x光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種x光片的次品率分別是 1／10，1／15，1／20,從這10盒中任取一張X光片是正品，問抽到的X光片是甲廠生產(chǎn)的概率?,解： 設(shè)A1,A2,A3分別表示取得的x光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，B表示x光片是正品。,P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)

28、=19/20 問P(A1/B)=?,定理6（貝葉斯公式）設(shè)A1 A2,…An是兩兩互不相容，且P(Ai)>0，P(B)>0,例16 經(jīng)大量臨床應(yīng)用知道，某種診斷肝癌的試驗有下述效果：“試驗反應(yīng)為陽性”記為事件B，“被診斷患肝癌”的事件為A。據(jù)統(tǒng)計資料，肝癌患者試驗反應(yīng)為陽性的概率為0.94，即真陽性率為P(B／A)＝0.94，非肝癌患者試驗為陰性的概率為0.96，即真陰性率為P( )＝

29、0.96，對一群人進(jìn)行癌癥普查，假設(shè)被試驗的人群中(指某一地區(qū))患肝癌的發(fā)病率為0.003，今有一人經(jīng)試驗反應(yīng)為陽性，求此人患肝癌的概率？,解：依題意，P(A)=0.003 P(B/A)=0.94P( )=1-P(A)=0.997,結(jié)論是:試驗為陽性的人確實患肝癌的可能性并不大，僅為6.6％。,例18 為探討乳腺腫塊的鑒別診斷,調(diào)查了186個病例,根據(jù)病理報告,其中乳癌(A1)29例,纖維腺瘤(A2)92例,乳腺病(A3)6

30、5例,由此可得各病的概率如下:P(A1)=29/186=0.1559 P(A2)=92/186=0.4946 P(A3)=65/186=0.3495在各種并發(fā)病的條件下,有關(guān)重要癥候出現(xiàn)的概率的經(jīng)驗估計如下表:,解：該病例所出現(xiàn)的有關(guān)癥候表現(xiàn)的具體組合可用符號表示為：B=B11B21B32B41B53B61,假設(shè)各癥候表現(xiàn)的出現(xiàn)與否彼此獨立，則根據(jù)獨立事件概率可得P(B)=P(B11)P(B21)P(B32)P(

31、B41)P(B53)P(B61)在A1發(fā)生的條件下，B出現(xiàn)的概率,根據(jù)貝葉斯公式，可得在癥候B表現(xiàn)的條件下，乳癌A1發(fā)生的概率,這說明是乳腺病的可能性最大，所以診斷該患者為乳腺病。,探討乳腺腫塊的鑒別診斷,我們用變量X 表示，,例2：拋一枚硬幣，結(jié)果分為“正面”、“反面”,7.3 隨機(jī)變量及其概率分布,目的：將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化以便于研究!,例1：生化檢驗結(jié)果分陽性和陰性，,X=0表正面；X＝1表反面。,X=0表陰性；X＝1表陽性

32、。,將不同問題轉(zhuǎn)化為研究相同取值的隨機(jī)變量,例3 拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).,S={1，2，3，4，5，6},樣本點本身就是數(shù)量,且有,則有,例1 觀察投擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).,[定義7] 若對于隨機(jī)試驗的每一個可能的結(jié)果e，都有唯一的實數(shù)x(e)與之對應(yīng)，則稱x(e) 為隨機(jī)變量，簡記為x。,隨機(jī)變量的分類,離散型：,取值為有限個或無限可列個；,取值為某一區(qū)間或整個實數(shù)軸。,連續(xù)型:,,隨機(jī)變量 X 的可能值是 :,1, 2

33、, 3, 4, 5, 6.,例2 隨機(jī)變量 X 為“燈泡的壽命”.,則 X 的取值范圍為,7.3.2 離散隨機(jī)變量的概率分布和連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),一、離散隨機(jī)變量的概率分布,[定義8] 設(shè)X為—個離散隨機(jī)變量，可能取值為x1,x2…,,這些值對應(yīng)的概率為P(X=xk)=pk(k=1,2…),例19   設(shè)盒中有2個白球3個黑球，從中隨機(jī)取3個球，求抽得白球數(shù)的概率分布？,解：令X

34、表示抽得的白球個數(shù)，由于只有2個白球，所以隨機(jī)變量X可能取0、1、2數(shù)值，其相應(yīng)概率為：,或者寫成分布列,二．連續(xù)隨機(jī)變量概率密度函數(shù),1頻率直方圖簡介,例如．為了研究某地區(qū)12歲男孩身高情況， 隨機(jī)地抽取120名男孩測得身高數(shù)據(jù)見表7—6：,表7-6 120名12歲男孩身高數(shù)據(jù)（單位：㎝）,,,,表7-7 頻率分布表,,2．連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),[定義9] 對于連續(xù)隨機(jī)變量x，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對任意實

35、數(shù)a,b(a＜b)，都有,則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度.,概率密度函數(shù)的性質(zhì),,這個頻率直方圖有明顯的特點，所有的矩形面積之和等于1，且矩形面積就是頻率。,,解：由概率密度函數(shù)的性質(zhì):,=a/2,因此，a=2，將其代入到密度函數(shù)中，得,,,,7.3.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),對于離散型隨機(jī)變量：F(x)=P{X≤x}=,,對于連續(xù)型隨機(jī)變量：F(x)=P{X≤x}=,,,實際生活中有時也要解決隨機(jī)變量,X,

36、在區(qū)間,(-¥, x],上,,取值的概率，,,,例21 求本章例19中的分布列,的隨機(jī)變量X的分布函數(shù),解：當(dāng)x<0時，{X≤x}是不可能事件，,=0,F(x)=P{X≤x}=,當(dāng)0≤x<1時， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.1,當(dāng)1≤x<2時， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.7,當(dāng)x≥2時， F(x)=P{X≤x}=1,,（2）分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)就是密度函數(shù)f(x

37、).,連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)與分布函數(shù)關(guān)系是：,（1）密度函數(shù)f(x)的積分就是分布函數(shù)；,解:F(x)=P{X≤x}=,當(dāng)0≤x<1時，F(xiàn)(x)=,當(dāng)x≥1時， F(x)=1,當(dāng)x ≤ 0時，F(xiàn)(x)=0,=x2,,,,一、二點分布,7.3.4五種常見的隨機(jī)變量分布,離散型隨機(jī)變量：二點分布、二項分布、泊松分布；連續(xù)型隨機(jī)變量：均勻分布和正態(tài)分布。,二、 二項分布,例如：重復(fù)n次拋一枚硬幣；某藥治某病分治愈或不治愈兩種結(jié)果，對

38、n個病人進(jìn)行治療；這些試驗均屬于n重伯努利試驗。,求在3次重復(fù)試驗中事件A剛好出現(xiàn)2次的概率?,，,例23 在100升經(jīng)消毒的自來水中，只能含有10個大腸桿菌，今從中取出l升水進(jìn)行檢驗，問在這一升水中檢出 2個大腸桿菌的概率是多少?如果真的檢查出有2個大腸桿菌，問這水是否合格?,,=,(0.01)2(0.99)10-2=0.0041,根據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗中不可能發(fā)生，所以認(rèn)為這水是不合格的。,例24 據(jù)報道，有10

39、％的人對某藥有腸道反應(yīng)，為考核該藥療效，現(xiàn)任選5人用此藥，試求： (1)有腸道反應(yīng)的人數(shù)的概率分布；,解： 設(shè)服藥后有反應(yīng)事件為A，則P(A)=0.1，P( )=0.9， 設(shè)5人中有腸道反應(yīng)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，因此，,（1）X～B(5,0.1)，即 = (0.1)k(0.9)5-k （k=0,1,2,…,5）,(2)不多于2人有腸道反應(yīng)的概率；,(3)有人有反應(yīng)的概率？,（3）P{X≥1}=1-P5(0)=1

40、-0.59049=0.40951,三、 泊松分布,數(shù)學(xué)歷史,,適用條件:稀疏現(xiàn)象，如稀有元素含量；低發(fā)病的發(fā)病人數(shù)；單位時間內(nèi)交換臺呼叫的次數(shù)等 (n＞50)很 大，(p＜0.05)較小，,泊松(1781-1840) 法國數(shù)學(xué)家,青年時期曾學(xué)過醫(yī)學(xué),后因喜好數(shù)學(xué)于1798年入巴黎綜合工科學(xué)院深造。他的數(shù)學(xué)才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。    泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其單擺的

41、運動和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。 他對積分理論、熱物理，彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。,例25 用車運送500件針劑藥品，在運輸途中藥品受損壞的概率為0.002，(1)求運輸途中小于3件藥品損壞的概率；(2)求運輸途中多于3件藥品損壞的概率，(3)求運輸途中恰有2件藥品損壞的概率。,解： 設(shè)藥品在運輸途中損壞的件數(shù)為隨機(jī)變量X，從而，X～B(5

42、00,0.002),由于n=500很大，p=0.002很小。所以可用泊松粉不近似計算，λ=np=1，查附錄Ⅲ，所求的概率為：,四、均勻分布,性質(zhì)：X落在[a,b]任意等長的子區(qū)間內(nèi)的概率相等,,,,,,,,,正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,3. 正態(tài)分布,正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征,正態(tài)

43、分布的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為,正態(tài)分布的性質(zhì),一般正態(tài)分布函數(shù)通過變量代換可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,,,同理可計算另兩個問題的解,,,,思考題,學(xué)生A參加SAT中的數(shù)學(xué)部分考試，得分700分。SAT的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N(500，1002)；學(xué)生B參加ACTP考試得了24分，而ACTP的分?jǐn)?shù)Y服從正態(tài)分布N(18，62)，就考試得分而言，誰考得更好?,解題過程,顯然A學(xué)生的成績好,

44、第四節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì) 一、數(shù)學(xué)期望的概念 二、五個常見分布的數(shù)學(xué)期望 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)7.4.2 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 一、方差的概念 二、方差的性質(zhì) 三、五種常見分布的方差 四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù),一、數(shù)學(xué)期望的概念,實例：某班40人，其身高為隨機(jī)變量X，X的分布情況如下,定義16 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,其值取x1,x2…,對應(yīng)的概率為p1,p2

45、…,如果級數(shù),存在,把他稱為X的數(shù)學(xué)期望,記作E(X),定義17 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量, 概率密度函數(shù)為f(x),如果積分存在,則把這個積分值稱為X的數(shù)學(xué)期望,記作E(X),二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望1.兩點分布的E(X),二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望,2.二項分布的E(X),二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望,3.泊松分布的E(X),4.均勻分布的E(X),二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望,5.正態(tài)分布的E(X),二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望

46、1.兩點分布的2.二項分布的3.泊松分布的4.均勻分布的5.正態(tài)分布,三.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)X,Y分別是隨機(jī)變量,a,b,c是常數(shù),由數(shù)學(xué)期望的定義容易得出下列性質(zhì).,例29 某種病毒性傳染病可通過驗血檢查。某單位為職工進(jìn)行普查，共有1000人需要驗血。假設(shè)一般人群中該病的陽性者比例為p＝0.1。醫(yī)務(wù)人員把4個職工分為一組，把4人的血液混合檢查，如果混合血樣是陰性的，這樣，4個人平均每人化驗1/4次；如果混合血樣是陽性的

47、，則對4個人再逐個分別化驗，這樣4個人共作5次化驗，相當(dāng)平均每人化驗5/4次。假定不同人之間的反應(yīng)相互獨立的，這種分組化驗比以往每人化驗1次可減少多少工作量?,解:4人混合成的血呈陰性反應(yīng)的概率為 ;陽性為 設(shè)平均每人化驗次數(shù)為隨即變量X,則分布列為,試問哪個射手技術(shù)較好?,思考題 誰的技術(shù)比較好?,解,故甲射手的技術(shù)比較好.,7.4.2 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)一、

48、方差的概念二、方差的性質(zhì)三、五種常見分布的方差四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù),在許多實際問題中，除了考慮隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望外，還要研究隨機(jī)變量以E(x)為中心的分散程度，比如生物體內(nèi)的脈搏、血壓及血球波動過大，表明該生物體處于病態(tài)。為了刻劃隨機(jī)變量x與數(shù)學(xué)期望的這種分散程度，通常用 [X—E(x)]2 來表示,一、方差的概念[定義18] 設(shè)隨機(jī)變量X的E(x)存在，若期望 存在，則把它稱為x的方差

49、，記為D(X)。,這個定義對離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量都是統(tǒng)一的，但具體表達(dá)形式不同。對離散型連續(xù)型,對離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量計算方差還有下述公式:,二. 方差的性質(zhì)1.D(c)＝0，即常數(shù)c的方差為0；2.D(cX)＝c2D(x)；3.D(X十b)＝D(X)；4.若X、Y相互獨立，則D(X+Y)＝D(X)+D(Y),三、五種常見分布的方差1、二點分布,三、五種常見分布的方差,2、二項分布,3、泊松分布,三、五種常見分布的

50、方差,4、均勻分布的方差,三、五種常見分布的方差,,5、正態(tài)分布的方差,例30 在同樣的條件下，用兩種方法測定某一容器內(nèi)細(xì)菌個數(shù)(單位：萬)為隨機(jī)變量，分別用Xl、X2表示，由大量測定結(jié)果得到分布列如下表，試比較兩種方法的精度?,,解：兩種方法的數(shù)學(xué)期望是相同的，都是50， 為了比較精度，還要考慮方差的大小經(jīng)過計算D(X1)=2*0.1+1*0.1+0*0.6+1*0.1+2*0.1=1D(X2)=

51、2*0.2+2*0.2+2*0.2+2*0.2+2*0.2=2顯然方法2的精度高,分　　布,參數(shù),數(shù)學(xué)期望,方差,兩點分布,二項分布,泊松分布,均勻分布,,正態(tài)分布,三、五種常見分布的方差,四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)[定義19] 設(shè)隨機(jī)變量X的方差為D(X)，則稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記做 ，即 =,,,,,[定義20] 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X), 標(biāo)準(zhǔn)差為

52、 ，則稱 為變異系數(shù)，記為CV(X).可以用百分?jǐn)?shù)表示。,,,例31 某地20歲男子，其身高均數(shù)(數(shù)學(xué)期望)為166.06cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.95cm；其體重均數(shù)為53.72kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4.96kg.試問該地區(qū)20歲男青年身高與體重的變異程度是否可認(rèn)為相同?,解：設(shè)該地20歲男子身高和體重都是隨即變量，分別用X1,X2表示,由此可見，體重變異大于身高變異，或者說身高比體重均勻。,7.5*

53、 大數(shù)定律和中心極限定理,大數(shù)定律和中心極限定理是數(shù)理統(tǒng)計、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)、社會統(tǒng)計學(xué)的理論基石，并在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研中有廣泛應(yīng)用。,一、大數(shù)定律 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律（law of large numbers）.它是概率論和數(shù)理統(tǒng)計最基本最重要的核心定理。,定理8 （切貝雪夫大數(shù)定理）設(shè)隨機(jī)變量 相互獨立且服從同一分布，并且具有相同的有限數(shù)學(xué)期望 和方

54、差 ，作n 個隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù) ，則對任意 ，有,定理7 （伯努利大數(shù)定理）設(shè)m是n 次獨立重復(fù)實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次實驗中發(fā)生的概率，則對任意 ，有,切貝雪夫大數(shù)定律指出，n 充分大，經(jīng)過算術(shù)平均以后得到隨機(jī)變量可作為數(shù)學(xué)期望的估計。,伯努利大數(shù)定律指出，n充分大，通過隨機(jī)試驗確定某事件發(fā)生的頻率可作為該事件的相應(yīng)概率的估計,二．中心極限定理,概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量

55、的和的極限分布是正態(tài)分布的那些定理通常叫做中心極限定理。,從而 近似服從正態(tài)分布。也可解釋為：若被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨立隨機(jī)變量的和，其中每一個隨機(jī)變量對于總和只起微小的作用，則可以認(rèn)為這個隨機(jī)變量實際上是近似服從正態(tài)分布的。 生物醫(yī)學(xué)中很多隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布就是這個原因。,大數(shù)定律和中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計聯(lián)系的核心定理，他們不僅是理論研究的依據(jù)，而且對數(shù)理統(tǒng)計和多變量分析在實際上的應(yīng)用起到重要作用。知道

56、這些定理的意義，會更加深刻掌握概率論的基礎(chǔ)知識。,1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局, 且誰先贏 c 局便算贏家, 若在一賭徒勝 a 局 ( a<c ),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本” 為題求教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論這一問題, 于1654 年共同建立了概率論的第一個基本概念,1. 概率論的誕生,醫(yī)學(xué)應(yīng)用： 根據(jù)字母使用頻率分布，把字母的序號作為橫坐標(biāo)，對應(yīng)

57、頻率的對數(shù)作為縱坐標(biāo)則散點圖大致成斜率為-1的直線，各種文字都有類似規(guī)律 研究發(fā)現(xiàn)，占DNA分子鏈長度97%的，但并不表現(xiàn)任何功能的片斷中，分子頻率的特征竟與上述語言文字規(guī)律一致！形成了“基因文字“的猜想。,引例：A事件代表擲骰子是大于3點而小于6點,B事件代表擲骰子是6點,即P(A)=2/6, P(B)=1/6.問:擲骰子點數(shù)大于3點的概率?,A事件與B事件是互不相容事件, A事件與B事件的和事件代表擲

58、骰子點數(shù)大于3點的事件. P(A+B)=P(A)+ P(B)=2/6+1/6=1/2.,在一批有一定次品率的產(chǎn)品中，連續(xù)兩次抽取產(chǎn)品，每次任取一件。第一次取后放回，設(shè)第一次取得正品的事件為A,設(shè)第二次取得正品的事件為B,那么P(B/A)=P(B),若事件A,B相互獨立，證明A與 也相互獨立。,甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p,p>1/2.問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利。設(shè)各局勝負(fù)相互獨立。,課堂