4最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

1、第四講第四講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)本講重點解決與最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有關(guān)的另一類問題——有關(guān)兩個自然數(shù).它們的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)之間的相互關(guān)系的問題。定理1兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì).即如果（a，b）=d，那么（ad，bd）＝1。證明：設(shè)ad=a1，bd=b1，那么a＝a1d，b=b1d。假設(shè)（a1，b1）≠1，可設(shè)（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，

2、b2是整數(shù)）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。那么md是a、b的公約數(shù)。又∵m＞1，∵md＞d。這就與d是a、b的最大公約數(shù)相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假設(shè)是不正確的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（ad，bd）＝1。定理2兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積.（證明略）定理3兩個數(shù)的公約數(shù)一定是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù).（證明略）下面我們就應(yīng)用這些知識來解決一些具體的問題。例1甲數(shù)是36，

3、甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，求乙數(shù).解法1：由甲數(shù)乙數(shù)=甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可得36乙數(shù)=4288，乙數(shù)=428836，解出乙數(shù)=32。答：乙數(shù)是32。解法2：因為甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)為4，則甲數(shù)=49，設(shè)乙數(shù)=4b1，且（b1，9）=1。a1b1=10。滿足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：答：這兩個數(shù)為5與45或15與35。例4已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。解