表1美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

1、表1美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年份1790180018101820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5建模方法2：上述模型對(duì)過去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

2、得較好，但也存在問題，即人口是呈指數(shù)規(guī)律無(wú)止境地增長(zhǎng)，此時(shí)人口的自然增長(zhǎng)率隨人口的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，這不可能。一般說來(lái)，當(dāng)人口較少時(shí)增長(zhǎng)得越來(lái)越快，即增長(zhǎng)率在變大；人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量以后，增長(zhǎng)就會(huì)慢下來(lái)，即增長(zhǎng)率變小這是因?yàn)椋匀毁Y源、環(huán)境條件等因素不允許人口無(wú)限制地增長(zhǎng)，它們對(duì)人口的增長(zhǎng)起著阻滯作用，而且隨著人口的增加，阻滯作用越來(lái)越大。而且人口最終會(huì)飽和，趨于某一個(gè)常數(shù)x?，我們假設(shè)人口的靜增長(zhǎng)率為r(1x(t)x?)，即人口的靜增長(zhǎng)率隨

3、著人口的增長(zhǎng)而不斷減小，當(dāng)t??時(shí)，靜增長(zhǎng)率趨于零。按照這個(gè)假設(shè)，得到(1)?????????00)()1(xtxxxrdtdx這便是荷蘭數(shù)學(xué)家Verhulst于19世紀(jì)中葉提出的阻滯增長(zhǎng)模型（logistic模型）。在MATLAB命令窗口鍵入dsolve(‘Dx=rx(1xc)’’x(1790)=3.9’)輸出：ans=c(1139exp(rt)exp(1790r)(10c39))其中c=x?。因此，人口的變化規(guī)律為：(2)rtexx

4、x)1790(3910)1(1???????利用MATLAB軟件中的“curvefit”命令和函數(shù)(2)來(lái)擬合所給的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從而確定出(2)中的待定參數(shù)r和x?。編制的MATLAB程序如下：定義函數(shù)(2)的函數(shù)M——文件functionf=fun3(at)f=a(1).(1(a(1)3.91)exp((t1790)a(2)))用該函數(shù)來(lái)對(duì)所給的美國(guó)人口數(shù)據(jù)作最小二乘擬合，并作出圖形觀察擬合效果，編制的M——文件如下：x=1790:

5、10:1990y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...圖5a0=[2000.1]時(shí)的擬合效果只要取初值a0(2)在0與1之間，a0(1)大于150小于2000，結(jié)果均相同，因此，擬合中使用的優(yōu)化方法對(duì)該問題來(lái)說是比較穩(wěn)定的。建模方法3：從圖5看出，在前一段吻合得比較好，但在最上面，若擬合曲線更接近原始數(shù)據(jù)，對(duì)將來(lái)人口的預(yù)測(cè)應(yīng)該更好。因此，把用函數(shù)(2)來(lái)擬合所給人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)準(zhǔn)

6、則略加修改，看效果如何。將擬合準(zhǔn)則改為：（3）?????????211212))(())(()(minniiiniiixtfwxtfaE其中w為右端幾個(gè)點(diǎn)的誤差權(quán)重，在此處應(yīng)該取為大于1的數(shù)，這樣會(huì)使右邊的擬合誤差減小，相應(yīng)的，其他點(diǎn)的誤差會(huì)有所增加。如何才能使這些誤差的增減恰當(dāng)呢？可以通過調(diào)整w和n的具體取值，比較他們?nèi)「鞣N不同值時(shí)的擬合效果，從而確定出一個(gè)合適的數(shù)值。實(shí)現(xiàn)這些功能的MATLAB程序如下：先編寫一個(gè)函數(shù)M——文件，以定

7、義優(yōu)化問題(3)中的目標(biāo)函數(shù)。functionf=fun5(a)n=16w=2x=1790:10:1990x1=x(1:n)x2=x(n1:21)y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4]y1=y(1:n)y2=y(n1:21)f=[fun3(ax1)wfun3(ax2)][y1wy2]主程序：t=17

8、90:10:1990x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4]plot(txtx)a0=[3000.03]a=leastsq(fun5a0)ti=1790:5:1990xi=fun3(ati)holdonplot(tixitx)x1=fun3(a2010)holdoff1)先取n=17w=1.5運(yùn)行上述