圣維南原理的理解及其在工程問題中的應用

1、一、題目一、題目圣維南原理的理解及其在工程問題中的應用維南原理的理解及其在工程問題中的應用二、二、涉及到的彈性力學相關概念介紹涉及到的彈性力學相關概念介紹1855年，圣維南在梁理論研究中提出：若在物體一小部分區(qū)域上作用一平衡力系，則此力系對物體內距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產生影響，只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應力和變形。這就是著名的圣維南原理。圣維南原理的一種較為實用的提法是：若作用在物體局部表面上的外力，用一個靜力等效的力系（具有

2、相同的主矢和主距）代替，則離此區(qū)域較遠的部分所受影響可以忽略不計[1]。三、正文部分三、正文部分1圣維南原理的理解圣維南原理的理解1.11.1圣維南原理的提出背景圣維南原理的提出背景求解彈性力學問題就是在給定邊界條件下求解偏微分方程。邊界條件不同，問題的解答也不一樣。但是要求出嚴格滿足邊界條件的精確解，有時是非常困難的，另外，對于一些實際問題，不能確切的給出面力的分布，只是知道它在某邊界上的合理與合力偶的大小。于是我們會提出一個問題，能

3、不能用一個可解的等效力系來代替它；滿足合力、合力偶條件的解是否可以替換它。這個問題可由圣維南發(fā)原理來回答。1.21.2憑借生活經(jīng)驗的理解憑借生活經(jīng)驗的理解對于圣維南原理的第一種提法：若在物體一小部分區(qū)域上作用一平衡力系，則此力系對物體內距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產生影響，只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應力和變形，可以用一個實例先簡單理解。例如用鉗子剪鋼絲即使外力大道把鋼絲剪斷的程度，根據(jù)生活經(jīng)驗，鋼絲的應力和變形僅局限于潛口附近。經(jīng)驗

4、表明，這一平衡力系越小，對鋼絲其它部分的影響越小[3]。對于圣維南原理的另一種提法是：若作用在物體局部表面上的外力，用一個靜力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，則離此區(qū)域較遠的部分所受影響可以忽略不計。可以這樣理解:懸臂梁在端部不沿受集中力作用，基礎上增加一對自相平衡的力系。再減少一對相平衡的力系，根據(jù)圣維南原理，僅在小區(qū)域那有明顯差異，而在該區(qū)域之外應力幾乎是相同的[1]。1.31.3簡單應用的理解簡單應用的理解化為等效的力邊界

5、。例如圖2.1（a）中的懸臂梁，為混合邊界問題，其左邊固定端的應力分布并不知道，但由總體平衡條件可以算出其合力與合力距的大小。用合力與合力距代替原未知分布力系以后，該問題就變成了一個應力邊界問題如圖2.1（b）。梁變形變形后如虛線所示，其左端面有一個轉角。要恢復圖2.1（a）中鉛錘平面狀態(tài)，必須在端面加一力系。顯然，為了保持物體的平衡，這一附加力系是自平衡的。即圖（a）（b）在左端面上的差異只是自平衡力系。由圣維南原理，其影響區(qū)的尺寸與

6、梁的橫截面尺寸量級相同[1]。圖2.1（4）對于薄壁構件，使用圣維南原理時要謹慎。如圖2.2所示為工字梁截面梁，在端面的兩個翼緣上作用著一對大小相等、方向相反的力偶，結構力學中稱為雙力偶，從桿件的整個橫截面范圍來看，它是一個自相平衡力系，但由于腹板較薄，每個翼緣所受的彎曲應力可以傳遞到相當遠的部分。極端地，當，彎曲應力可以達梁的根部。同時注意到，左邊的翼緣在力偶作用下向上彎曲，而右邊的翼緣向下彎曲，顯然，還將引起工字型截面的扭轉。這個例