2006年江蘇數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營(yíng)講座

1、2006年江蘇省數(shù)學(xué)奧林匹克夏令營(yíng)講座代數(shù)變換、代數(shù)變形的方法與技巧蔡玉書1.將一些結(jié)構(gòu)各異的式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母或用另外的式、量來(lái)替換表示，易于使復(fù)雜問(wèn)題明朗化、簡(jiǎn)單化。這種解決問(wèn)題的方法叫做替換法。(1)整式替換例1分解因式(x4x2－4)(x4x23)10.(第12屆“五羊杯”競(jìng)賽題)例2已知xy是正整數(shù)，并且xyxy=23x2yxy2=120則x2y2=.(2001年全國(guó)初中聯(lián)賽)例3已知實(shí)數(shù)ab滿足a3b33ab=1則

2、ab=.(2004年全國(guó)初中聯(lián)賽)(2)分式替換例4已知關(guān)于x的方程(a2－1)()2－(2a7)()1=0有實(shí)數(shù)根.xx－1xx－1①求a的取值范圍；②若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1x2，且=求a的值.x1x1－1x2x2－1311(3)根式替換例5計(jì)算…=.(第16屆“五羊杯”競(jìng)賽題)9a9aa9a29a2a9a39a3a9a89a8a(4)常值替換例6證明19971998199920001是一個(gè)整數(shù)的平方，并求出這個(gè)整數(shù).(1997年

3、安徽省數(shù)學(xué)競(jìng)賽)例7計(jì)算.(第9屆華羅庚金杯賽)(7464)(15464)(23464)(31464)(39464)(3464)(11464)(19464)(27464)(35464)例8計(jì)算….(第9屆華羅庚金杯賽)11121221122122113214211200321200422.代數(shù)式的恒等變形包括整體代入、因式分解、配方、配對(duì)、分母有理化、分子有理化等。例9若3x2－x=1則9x412x3－3x2－7x2001的值等于.(2

4、001年武漢市數(shù)學(xué)競(jìng)賽)例10設(shè)x3－3x26x－2－8=0則x5－41x2＋1的值為.(2002年“五羊杯”競(jìng)賽題)22例11設(shè)a＜b＜0，a2b2=4ab求的值.(2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)aba－b例12分解因式(xy－1)2(xy－2)(xy－2xy).(1996年天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽).2001(R(2001)－R(1997))(R(2001)－R(1999))(1997年希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽)例26已知(x)(y)=2002求x2－3

5、xy－4y2―6x―6y58的值.(2002年江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)x22002y22002賽)例27已知x=求的值.(2000年湖南省高中理科實(shí)驗(yàn)班招生)1－52x3－1x3例28已知a是方程x2－x－2000=0的一個(gè)正根，求代數(shù)式3的值.(2003年河北省數(shù)學(xué)競(jìng)200120012000a賽)例29已知a是方程x2x－=0的根則=.14a3－1a5a4－a3－a2例30繁分?jǐn)?shù)1－(共2004個(gè)分?jǐn)?shù)線)的值是.11－11－…1－11－11315

6、5練習(xí)題1.已知(b－c)2=(a－b)(c－a)且a≠0求的值.(1999年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)14bca2.計(jì)算…131(12)135(12)(123)1357(123)(1234).(2003年五羊杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽)135…29(123…14)(123…15)3.若x=a則x6=.(2004年西安市數(shù)學(xué)競(jìng)賽)1x1x64.不為零的三個(gè)數(shù)abc滿足=求證：abc中至少有兩個(gè)互為相反數(shù).(1999年北1a1b1c1abc京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽)5.計(jì)算….