[學習]概率論課件第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律及中心 極限定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象.研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:大數(shù)定律與中心極限定理,§5.1 大數(shù)定律,一、大數(shù)定律的客觀背景,二、幾個常見的大數(shù)定

2、律,三、小結,大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性,一、大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的廢品率,……,,二、幾個常見的大數(shù)定律,切比雪夫,Th1: 切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況,說明,（2） 在所給的條件下，當n充分大時，n個隨機變量的算術平均值與它們的數(shù)學期望有較小的偏差的可能性比較大。可以考慮用算術平均值作為所研究指標值的近似值。,（1）此定理也稱為切比雪夫大數(shù)定理,證明切比雪

3、夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式.,注意,切比雪夫不等式,證,當X為連續(xù)型隨機變量時, 設X的概率密度為f(x),,則,例,?=3 ?,,P {|X- ?|< ?}=,P {|X- ?|< 3 ?}?0.8889,?=4 ?,P {|X- ?|< ?}=,P {|X- ?|< 4 ?}?0.9375,例 擲一顆骰子1620次，估計“六點”出現(xiàn)的次數(shù)X在250～290之間的概率？,解,由切比雪夫(Che

4、byshev)不等式估計,切比雪夫(Chebyshev)定理證明,定義,由此得到定理1的另一種敘述：,,Th1′,定理表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于 事件的概率。由實際推斷原理,在實際應用中, 當試驗次數(shù)很大時,可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。,Th2：(伯努利大數(shù)定理),Th3: (辛欽定理),伯努利大數(shù)定理是辛欽定理的特殊情況。n個隨機變量的算術平均值以概率收斂于算術平均值的數(shù)學期望。,三 小結,1、

5、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況,2. 伯努利定理,3. 辛欽定理,用算術平均值作為所研究指標值的近似值。,事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率,n個隨機變量的算術平均值以概率收斂于算術平均值的數(shù)學期望。,§5.2 中心極限定理,一、中心極限定理的客觀背景,二、中心極限定理,三、小結,,一、中心極限定理的客觀背景,在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨

6、機因素的影響.,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,重要的是這些隨機因素的總影響.,如瞄準時的誤差，,炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.,研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題,當n無限增大時，這個和的分布是什么？,本節(jié)內(nèi)容,觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.,由于

7、無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量,的分布函數(shù)的極限.,在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,1、獨立同分布的中心極限定理,二、中心極限定理,1. 在所給的條件下，當n無窮大時， n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和Yn的分布函數(shù)近似服從標準正態(tài)分布為極限分布。,說明,2. 獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列維—林德伯格（Le

8、vy－Lindberg）定理.,2.李雅普諾夫定理,,3.棣莫佛－拉普拉斯定理,說明,例1 擲一顆骰子1620次，求“六點”出現(xiàn)的次數(shù)X 在250～290之間的概率？,4.例題,解,例2,一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,…,20),,設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上,服從均勻分布。記,求P{V>105}的近似值,解,E(Vk)=5, D(Vk)=100/12 (k=1,2,…,20)

9、.,近似服從正態(tài)分布N(0,1),,例3. 對敵人的防御地段進行100次炮擊, 在每次炮擊中, 炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學期望為2, 均方差為1.5, 求在100次炮擊中,有180顆到220顆炮彈命中目標的概率.,解:,設Xk為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,…,100),,在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù),相互獨立地服從同一分布，,E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100),隨機變量,近似服從

10、標準正態(tài)分布,例4 對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布.求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率.(2) 求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.,解,(1) 以Xk (k=1,2,…,400)記第k個學生來參加會議,的家長數(shù),其

11、分布律為,pk,,,0.05,0,1,2,0.8,0.15,Xk,Xk 相互獨立地服從同一分布,隨機變量,近似服從標準正態(tài)分布,(2) 以Y表示有一名家長來參加會議的學生, 則,Y~b(400, 0.8),三 小結,1、獨立同分布的中心極限定理,2.李雅普諾夫定理,3.棣莫佛－拉普拉斯定理,近似服從標準正態(tài)分布N(0,1)。,一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3?的概率為p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪