第五章留數(shù)定理

1、第五章第五章留數(shù)定理留數(shù)定理（38）一、內(nèi)容摘要1留數(shù)留數(shù)：設(shè)以有限點(diǎn)a為孤立奇點(diǎn)，則在a點(diǎn)的某無(wú)心領(lǐng)域內(nèi)可以展成()fz洛朗級(jí)數(shù)：，。我們稱此展式中的系數(shù)0()()kkkfzazz???????0zaR???1za?為在a的留數(shù)留數(shù)，記為1a?()fz??0Reszzfz?2留數(shù)定理留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，??fzl在回路上連續(xù)，則l??????12ResResnlfzdzifzfz?????????

2、?A3將留數(shù)公式推廣到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)將留數(shù)公式推廣到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)：設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在圓環(huán)?()fz()fz內(nèi)解析，設(shè)為圓環(huán)內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單正向閉曲線，定義Rz????l，為順時(shí)針?lè)较?，取為逆時(shí)針?lè)较?。?duì)于無(wú)11Res()()2lffzdzbi????????Al?l窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域來(lái)說(shuō)，才是該領(lǐng)域邊界的正方向。也即在的留數(shù)等于它l?()fz?在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)變號(hào)。即其中的圍道?Rz????1z?沿順時(shí)針繞原點(diǎn)一周。在圍道外

3、除外別無(wú)奇點(diǎn)。l?l???z4留數(shù)和定理：留數(shù)和定理：設(shè)函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上除了有限遠(yuǎn)點(diǎn)以及??fz(12)kzkn????以外處處解析，則有z??1Res()Res()0nkkfzf?????5求留數(shù)的一般方法求留數(shù)的一般方法：1）解析點(diǎn)的留數(shù)為0，即泰勒展開式與洛朗展開式一樣，無(wú)負(fù)一次項(xiàng)。2）直接求Laurent展開式的負(fù)一次項(xiàng)系數(shù)。3）判斷極點(diǎn)類型，可去奇點(diǎn)的留數(shù)為0，本性奇點(diǎn)用洛朗展開式中的階極點(diǎn)和一階極點(diǎn)的留數(shù)為。1bm?010

4、1011()lim()()(1)!mmmzzdresfzbzzfzmdz????????????01()sinRes()kkfxmxdxFa???????其中()()(0)imzFzfzem??3）實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情形。定理：定理：在實(shí)軸上有有限個(gè)一階極點(diǎn)，在上半平面有有限??fz??12jajm??個(gè)孤立奇點(diǎn).而且在包括實(shí)軸的上半平面中當(dāng)時(shí)一??12kbkn??z????zfz致趨于零則有.??????112nmkjkjfxdxires

5、fbiresfa????????????二、習(xí)題1填空題（1）在本性奇點(diǎn)處的留數(shù)___________.則1()zfze?=0zRes()fz?2()1izefzz??=__________Res()fi（2）=_________，=___________2=2=1zzeIdzz??A3=1cos=zzIdzz?（3）則___________則20=11cosdIaa????=I220cos=xIdxxb??__________=I2求