[學(xué)習(xí)]多元正態(tài)分布及參數(shù)估計(jì)

1、2024/3/26,1,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,2,§2.1 隨機(jī)向量,本課程討論多變量總體。把p個(gè)隨機(jī)變量放在一起得 為一個(gè)p維隨機(jī)向量，如果同時(shí)對(duì)p個(gè)變量做一次觀測(cè)，得觀測(cè)值： 它是一個(gè)樣品，觀測(cè)n次得n個(gè)樣品： 而這n個(gè)樣品就構(gòu)成一個(gè)樣

2、本,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,3,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,4,① 非降的右連續(xù)函數(shù)；,隨機(jī)向量的聯(lián)合分布，邊緣分布，條件分布,一、多元概率分布,1、聯(lián)合分布函數(shù),隨機(jī)向量 的聯(lián)合概率分布函數(shù)定義為,,2、分布函數(shù)的性質(zhì),,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,5,② 分布函數(shù)的取值范圍為[0，1]，即,,③ 分

3、布函數(shù)當(dāng)變量取值為無窮大時(shí)，函數(shù)值收斂到1，即,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,6,二、兩個(gè)常用的離散多元分布,1、多項(xiàng)分布,,,,,,,則稱 服從多項(xiàng)分布。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,7,2、多元超幾何分布,,,則 服從多元超幾何。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,8,三、聯(lián)合概率密度,1、定義,隨機(jī)向量 的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為,,,則稱

4、 為連續(xù)型隨機(jī)向量。稱為的聯(lián)合概率密度函數(shù)。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,9,若 在點(diǎn) 連續(xù)，則,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,10,四、邊緣分布,設(shè)有連續(xù)隨機(jī)向量,,不妨設(shè) 是 的q個(gè)分量組成。則 的分布為,,,,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,11,,所以

5、 的邊際密度為,,例 隨機(jī)向量 有聯(lián)合概率密度函數(shù),試分別求 的邊際密度。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,12,,,,,,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,13,五、條件分布,1、問題的引入,若A和B是任意兩個(gè)事件，且 ，則稱為在B事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。,考慮隨機(jī)向量 ，其中 表示人的身高（單位：米）， 表示人的體重（單位：公斤），在身高為

6、1.9米的人群中，體重 的分布就再也不是原來的分布了。而是在 的條件分布。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,14,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,15,2、條件分布 連續(xù)隨機(jī)向量,不妨設(shè) 是 的q個(gè)分量組成。 是余下的p-q個(gè)分量組成。,,,是 條件下，

7、 的分條件密度函數(shù)。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,16,例 設(shè)X=(x1,x2)’有概率密度函數(shù),試求條件密度函數(shù)f(x1/x2）和f(x2/x1）。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,17,所以先求,,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,18,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,19,六、獨(dú)立性,1、定義設(shè) 和 是兩個(gè)隨機(jī)向量，若 對(duì)一切 、成立，則稱 和

8、相互獨(dú)立。,2、設(shè) 和 是兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)向量， 和 相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng) 或?qū)σ磺?、 成立。,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,20,3、設(shè) 是 個(gè)隨機(jī)向量，若 對(duì)一切 成立，則 相互獨(dú)立。,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,21,數(shù)字特征,一、數(shù)學(xué)期望,1、定義,,是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣，定義X的數(shù)學(xué)期望為,2024/3/26,

9、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,22,,特別當(dāng)時(shí) ，便可得到隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望為,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,23,2、性質(zhì),1）  設(shè)??為常數(shù)，則 ；,2）設(shè) 分別為常數(shù)矩陣，則,3）設(shè) 為 個(gè)同階矩陣，則,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,24,二、協(xié)方差矩陣,1、定義：設(shè) 和 分別為 維和

10、 維隨機(jī)向量，則其協(xié)方差矩陣為,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,25,,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,26,2、性質(zhì),1）若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yp)相互獨(dú)立。則反之不成立,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,27,若(x1,x2,…，xp)’的分量相互獨(dú)立, 則協(xié)方差矩陣，除主對(duì)角線上的元素外均為零，即,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,28,2）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣?是非負(fù)

11、定矩陣。 證：設(shè)a為任意與X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則,,,,3）設(shè)A是常數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，則V(AX+b)=AV(X)A’ ；,,,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,29,4、若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，A和B為常數(shù)矩陣，則,,,,5、若(k1,k2,…，kp)是n個(gè)不全為零的常數(shù)， (x1,x2,…，xp) 是相互獨(dú)立的p維隨機(jī)向量，則,,,2024/3/26,應(yīng)

12、用統(tǒng)計(jì)方法,30,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,31,三、相關(guān)系數(shù)矩陣 若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,32,隨機(jī)向量的變換,一、一元隨機(jī)變量的變換,設(shè)x具有概率密度函數(shù)fx(x)，函數(shù)y=?(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)x=?(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則y的概率密度函數(shù)為,,其中y的取值范圍與x的取值范圍相對(duì)應(yīng)。,例 設(shè)隨機(jī)變量

13、x服從均勻分布U(0,1),即密度函數(shù),,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,33,,,y的取值范圍為(0,?),則,,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,34,二、多元隨機(jī)向量的變換,若(x1,x2,…,xp)’ 有密度函數(shù)f (x1,x2,…,xp),有函數(shù)組,,其逆變換存在,,則 的概率密度函數(shù)為,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,35,,,2024/3/26,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法,36,特別：若