[學(xué)習(xí)]分析力學(xué)講義ppt課件chap6低速宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律的正則形式

1、第六章 低速宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律的正則形式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的表述形式：牛頓形式、拉格朗日形式、 哈密頓形式、泊松括號(hào)形式對(duì)于拉格朗日形式，有1.力學(xué)系統(tǒng)的描述：2.拉格朗日方程：,3. 缺點(diǎn)：方程中 地位不平等 力學(xué)系統(tǒng)的描述改為： (廣義坐標(biāo))、 (廣 義動(dòng)量) ：有共軛關(guān)系(獨(dú)立、平等、成對(duì)

2、)。用這一 對(duì)變量深刻反映了運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，且可得到更 為對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)方程 —— 正則方程。 §1.6.1 哈密頓方程 一、勒讓德變換 (將 ),,設(shè)：f = f (x,y)——關(guān)于兩個(gè)變量的二元函數(shù)則

3、 又 兩式相減 ——關(guān)于x、Q 變量的全微分 (勒讓德變換),,變換后的函數(shù)：g = f – Qy Q=Q(x,y) y=y(x,Q) ：由 Q=Q(x,y

4、) 解出y=y(x,Q) f = f (x,y) f = f (x,Q)因此 g = f – Qy = g(x,Q)說明：1. (1)、(2)兩式相減的另外一種結(jié)果為 d (Qy – f ) =

5、ydQ–Pdx (本質(zhì)上與前面無差別),,,2. 若要將變量 x 變?yōu)?P，則上兩式相減這樣,,,3.對(duì)于df = Pdx + Qdy 用Q取代 y，則將df 中的dy 前面的Q乘以被取代的y，再減去原函數(shù) f ；用P取代x，則將df 中的dx前面的P乘以被取代的x，再減去原函數(shù) f。4. f = f (x,y,z)——關(guān)于三個(gè)變量的函數(shù)(可推廣到N元函數(shù)) 要將 x、y、z → x、Q、R，采

6、用與前面一樣的方法，有,,二、哈密頓函數(shù)設(shè) ，t ——固定參量則,,而廣義動(dòng)量為拉格朗日方程為而 (上式中 不對(duì)稱),,,,目的：作勒讓德變換 ——哈密頓函數(shù)

7、得又,,,,與 比較得：H就是系統(tǒng)的能量E。在 中，H只是 的函數(shù)一般情況：三、哈密頓方程由 H=H(q, p) 得到,比較于是有 ——哈密頓方程 (正則方程,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程),說明1. 數(shù)學(xué)上：哈密頓形式

8、上為一階微分方程 (2S個(gè))，而 拉格朗日形式上為二階微分方程——簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)計(jì)算 (尤其對(duì)于數(shù)值計(jì)算)； 2. 哈密頓方程中， 地位同等——相互共軛的正 則變量、 兩者差別消失，可建立相空間(見后)；3. 哈密頓正則形式對(duì)稱，有利于從經(jīng)典力學(xué)到量子力 學(xué)的過渡；4. 循環(huán)坐標(biāo)：若 是拉格朗日函數(shù)的循環(huán)坐標(biāo)，同時(shí) 也是哈密頓函數(shù)的循環(huán)坐標(biāo)，反之亦然。但是，,也可以是哈密

9、頓函數(shù)的循環(huán)坐標(biāo)。而循環(huán)坐標(biāo)與守恒量密切相關(guān)，力學(xué)規(guī)律采用哈密頓形式或者后面的泊松括號(hào)形式，更容易找到守恒量。另外，采用哈密頓形式時(shí)，若 是循環(huán)坐標(biāo)，則與其共軛的變量 守恒。此時(shí)，從變量的角度講，系統(tǒng)減少了一對(duì)變量，從系統(tǒng)自由度的角度講，自由度由S減為(S-1)。如有心力問題中， 是循環(huán)坐標(biāo)，則 守恒，因此在哈密頓函數(shù)中，這一對(duì)變量均不出現(xiàn)。由以下表達(dá)式也很容易看到這一點(diǎn)：,5 . 提供了一個(gè)形式簡(jiǎn)潔而又完善的

10、統(tǒng)一的運(yùn)動(dòng)微分方程。 6 . 有時(shí)，并未直接減少求解給定力學(xué)問題的困難程度。 因?yàn)榍蠼夤茴D正則方程歸根到底仍是求解拉格朗 日方程。,四、最小作用量原理已講：由最小作用量原理導(dǎo)出拉格朗日方程現(xiàn)在：由最小作用量原理導(dǎo)出哈密頓方程因?yàn)?， 所以 將L代入作用量

11、 ，得,而,極值條件：又 互相獨(dú)立，所以,,即 ——哈密頓方程五、相空間定義：僅由廣義坐標(biāo) 形成的空間叫位形空間； 由 這一對(duì)共軛變量形成的空間叫相空間。 在任一時(shí)刻t，當(dāng)給定位形空間中一點(diǎn)的r(t)，不能確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。為了決定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，還必須知道這一時(shí)刻位矢的導(dǎo)數(shù) ，而這意味著需

12、要知道相鄰時(shí)刻的r(t)。位形空間：位置狀態(tài)；相空間：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,要使得給定空間中的一點(diǎn)能完全決定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，將3個(gè)坐標(biāo)分量 和3個(gè)動(dòng)量分量 合在一起，形成一個(gè)6維歐氏空間，稱為這一質(zhì)點(diǎn)的相空間。這樣，給定相空間中的一點(diǎn)，就完全決定了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)在相空間中的代表點(diǎn)隨時(shí)間t的變化所描出的曲線稱為質(zhì)點(diǎn)的相軌跡。對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，相軌

13、跡是閉合曲線 (例如一維諧振子的相圖)。,§1.6.2 守恒律 泊松括號(hào) (Poisson Bracket) 一、力學(xué)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 哈密頓形式下， ——力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)力學(xué)量用 來表示的例子：一維線性諧振子2. 粒子的能量、角動(dòng)量,設(shè) f —力學(xué)系統(tǒng)的任意力學(xué)量，則一般情況：f = f (p,q,t)，則由哈密頓方程,定義：H 和 f 的泊松括號(hào)

14、 ——用泊松括號(hào)表示的力學(xué)量隨時(shí)間的演化方程,,,說明1. 用泊松括號(hào)，可以使任一力學(xué)量隨時(shí)間的變化方 程表述得非常簡(jiǎn)潔；2. 泊松括號(hào)形式很容易過渡到量子力學(xué)：量子泊松 括號(hào)。量力泊松括號(hào)到經(jīng)典泊松括號(hào)的過渡參見 曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)》下冊(cè)p464-p466，或參見教材 p464。,二、用泊松括號(hào)表示出的運(yùn)動(dòng)方程因?yàn)?. ——f 中不顯含

15、時(shí)間，只含則2. ——f 中不顯含時(shí)間，只含,,則即 ——用泊松括號(hào)表示的運(yùn)動(dòng)方程 實(shí)際上,三、能量守恒與動(dòng)量守恒設(shè) f = f (p, q)不顯含時(shí)間t，即則又若 f 守恒 ——不顯含時(shí)間t的力學(xué)量守恒的充分必要

16、 條件是它和H的泊松括號(hào)等于零,,若：H不顯含時(shí)間t，則H是守恒量——能量守恒循環(huán)坐標(biāo)：在拉格朗日函數(shù)中不包含的某一廣義坐標(biāo)1.設(shè)H不包含某一廣義坐標(biāo) ，則 ——與循環(huán)坐標(biāo) 對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 守恒,,,2.設(shè)H不包含 ，則

17、 因此，廣義動(dòng)量也稱為循環(huán)坐標(biāo)。 這樣，在哈密頓表述中，廣義坐標(biāo)概念被推廣， 地位相等，廣義動(dòng)量也可視為廣義坐標(biāo)。,,,四、泊松括號(hào)的性質(zhì)設(shè)任意兩個(gè)函數(shù) f, g：f = f (q, p, t), g = g(q, p, t)定義：f 和 g的泊松括號(hào)為泊松括號(hào)的重要性質(zhì)1. 基本的泊松括號(hào)(由正則變量組成),2. 反對(duì)易性3. 分配律4. 結(jié)合

18、律5. 若c為常量，則6. 求導(dǎo)運(yùn)算,x：時(shí)間、廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量等變量7. 線性性質(zhì)8. 雅可比關(guān)系附：量子泊松括號(hào)和海森堡繪景下的運(yùn)動(dòng)方程1. 設(shè)有算符 ，則量子泊松括號(hào)為,§1.6.3 正則變換 一、正則變換1. 目的： 找到一坐標(biāo)系，使得在該系下，循環(huán)坐標(biāo)多；2. 正則變換的涵義：廣義坐標(biāo)為 ，是決定系統(tǒng)中

19、所有質(zhì)點(diǎn)位置的獨(dú)立變量。設(shè) 為 的單值可逆函數(shù)，即,2. 在海森堡繪景下的運(yùn)動(dòng)方程為,決定 ，即決定了系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)的位置 也是廣義坐標(biāo) ( ：均在位形空間) 是 之間的變換 例：笛卡爾坐標(biāo)和球坐標(biāo)之間的關(guān)系

20、 就是這種變換。,,,,,都是廣義坐標(biāo)。笛卡爾坐標(biāo)和柱坐標(biāo)之間的關(guān)系也是這種變換。 變換表示廣義坐標(biāo)的選取不唯一。對(duì)拉格朗日形 式、哈密頓表述都如此但：在哈密頓表述中， 地位平等，坐標(biāo)和動(dòng)量已 失去其原有的意義。 尋找更廣泛的變換,,(相空間中的坐標(biāo)變換),,,,在變換中， 中同時(shí)包含當(dāng) 時(shí)，哈密頓函數(shù)使得

21、 (變中有不變)此時(shí)稱 為正則變換變換的結(jié)果,問題的關(guān)鍵：尋找正則變換二、正則變換的生成函數(shù)由變分原理，有類似地,,由前面變分原理的兩個(gè)表達(dá)式可得：兩個(gè)被積函數(shù)相差一個(gè)任意函數(shù)F 對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，即事實(shí)上而在端點(diǎn)處,,(1)式中的F 稱為正則變換的生成函數(shù)，即

22、 ——4S+1個(gè)變量其中： ——2 S個(gè)方程除去時(shí)間變量外， 有2S個(gè)獨(dú)立變量。例

23、子：對(duì)于二維運(yùn)動(dòng)，可選直角坐標(biāo)x、y，還可選極坐標(biāo) ，或 、 ，即可在這四個(gè)變量中任選兩個(gè)作為函數(shù)的自變量。此外，還可在相空間中選擇。,,選F1 = F1(q, Q, t)，則比較,,F 有以下四種形式，即,,即又：若給定F1，則,,,因?yàn)榍矣泻愕仁?,所以令F1 = F1(q, Q, t)中的Q：,,又 F2 = F2 (q, P, t)而比較得,

24、,若給定F2 = F2 (q, P, t)則同理：,,,,三、正則變換舉例1. 由F2 = F2 (q, P, t)生成的變換設(shè)因所以,,,——恒等變換2. 由F1 = F1(q, Q, t)生成的變換設(shè)因所以,結(jié)論：老的廣義動(dòng)量 新的廣義動(dòng)量 老的廣義坐標(biāo) 新的廣義動(dòng)量 (相差一負(fù)號(hào)) ——坐標(biāo)、動(dòng)量平等&