習題課 中值定理及導數(shù)應用 - 大學數(shù)學網(wǎng)-我們致力于廣大學生

1、,二、 導數(shù)應用,,習題課,一、 微分中值定理及其應用,中值定理及導數(shù)的應用,第三章,,一、 微分中值定理及其應用,1. 微分中值定理及其相互關系,羅爾定理,,,,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的主要應用,(1) 研究函數(shù)或導數(shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關中值問題的結論,3. 有關中值問題的解題方法,利用逆向思維 , 設輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個中值的等式或根的存在 ,,(2) 若結論

2、中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) ,,(3) 若結論中含兩個或兩個以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,可考慮用,柯西中值定理 .,必須多次應用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.,有時也可考慮對導數(shù)用中值定理 .,例1. 設函數(shù),在,內可導, 且,證明,在,內有界.,證: 取點,再取異于,的點,對,為端點的區(qū)間上用拉氏中值

3、定理,,得,(定數(shù)),可見對任意,即得所證 .,例2. 設,在,內可導, 且,證明至少存在一點,使,上連續(xù), 在,證: 問題轉化為證,設輔助函數(shù),顯然,在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理條件,,故至,使,即有,少存在一點,例3.,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理條件,,故有,將①代入② , 化簡得,故有,①,②,即要證,例4. 設實數(shù),滿足下述等式,證明方程,在 ( 0 ,

4、 1) 內至少有一,個實根 .,證: 令,則可設,且,由羅爾定理知存在一點,使,即,例5.,設函數(shù) f (x) 在[0, 3] 上連續(xù), 在(0, 3) 內可導, 且,分析: 所給條件可寫為,試證必存在,想到找一點 c , 使,,證: 因 f (x) 在[0, 3]上連續(xù),,所以在[0, 2]上連續(xù), 且在,[0, 2]上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點,,由羅爾定理知, 必存在,例6. 設函數(shù),在,上二

5、階可導,,且,證明,證:,由泰勒公式得,兩式相減得,,二、 導數(shù)應用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點 ,,漸近線 ,,曲率,2. 解決最值問題,目標函數(shù)的建立與簡化,最值的判別問題,3. 其他應用 :,求不定式極限 ;,幾何應用 ;,相關變化率;,證明不等式 ;,研究方程實根等.,的連續(xù)性及導函數(shù),例7. 填空題,(1) 設函數(shù),其導數(shù)圖形如圖所示,,單調減區(qū)間為

6、 ;,極小值點為 ;,極大值點為 .,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,單調增區(qū)間為 ;,.,在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點為,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間

7、 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設函數(shù),的圖形如圖所示,,,,,例8. 證明,在,上單調增加.,證:,令,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,,,,故當 x > 0 時,,從而,在,上單調增.,得,例9. 設,在,上可導, 且,證明 f ( x ) 至多只有一個零點 .,證: 設,則,故,在,上連續(xù)單調遞增,,從而至多只有,一個零點 .,又因,因此,也至多只有一個零點

8、 .,思考: 若題中,改為,其它不變時, 如何設輔助函數(shù)?,,,,例10. 求數(shù)列,的最大項 .,證: 設,用對數(shù)求導法得,令,得,,,因為,在,只有唯一的極大點,因此在,處,也取最大值 .,又因,中的最大項 .,極大值,,,列表判別:,例11. 證明,證: 設,, 則,故,時,,單調增加 ,,從而,即,思考: 證明,時, 如何設輔助,函數(shù)更好 ?,提示:,例12. 設,且在,上,存在 , 且單調,遞減 , 證明對一切,有,證: