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1、推廣,第九章,一元函數(shù)微分學,,多元函數(shù)微分學,注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數(shù)微分法,及其應用,,第一節(jié),一、區(qū)域,二、多元函數(shù)的概念,三、多元函數(shù)的極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,,,,多元函數(shù)的基本概念,一、 區(qū)域,1. 鄰域,點集,稱為點 P0 的?鄰域.,例如,在平面上,,(圓鄰域),在空間中,,(球鄰域),說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑? ,也可寫成,點 P0 的去心鄰域記為,,,,在討論實際問題中也常使用方鄰域,,平面上的方

2、鄰域為,。,因為方鄰域與圓,鄰域可以互相包含.,,2. 區(qū)域,(1) 內(nèi)點、外點、邊界點,設(shè)有點集 E 及一點 P :,? 若存在點 P 的某鄰域 U(P)? E ,,? 若存在點 P 的某鄰域 U(P)∩ E = ? ,,? 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的點也含不屬于 E的點,,則稱 P 為 E 的內(nèi)點；,則稱 P 為 E 的外點 ;,則稱 P 為 E 的邊界點 .,,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E ,,E 的外點必

3、不屬于 E ,,E 的,邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,(2) 聚點,若對任意給定的? ,,點P 的去心,,鄰域,內(nèi)總有E 中的點 ,,則,稱 P 是 E 的聚點.,聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E,(因為聚點可以為,,,E 的邊界點 ),(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域,? 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集；,? 若點集 E ??E , 則稱 E 為閉集；,? 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連

4、,,? 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,,則稱 D 是連通的 ;,? 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,。 。,? E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作?E ;,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域,?,?,?,?,? 整個平面,? 點集,是開集，,是最大的開域 ,,但非區(qū)域 .,? 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 P?D 與定點,O的距離 ?OP?? K ,,則稱 D 為有界域 ,,界域 .,

5、否則稱為無,3. n 維空間,n 元有序數(shù)組,的全體稱為 n 維空間,,n 維空間中的每一個元素,稱為空間中的,稱為該點的第 k 個坐標 .,記作,即,一個點,,當所有坐標,稱該元素為,中的零元,,記作,O .,的距離記作,中點 a 的 ? 鄰域為,規(guī)定為,與零元 O 的距離為,二、多元函數(shù)的概念,引例:,? 圓柱體的體積,? 定量理想氣體的壓強,? 三角形面積的海倫公式,,定義1. 設(shè)非空點集,點集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,

6、稱為函數(shù)的值域 .,特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù),當 n = 3 時, 有三元函數(shù),映射,稱為定義,在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作,例如, 二元函數(shù),定義域為,圓域,說明:,二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) ? D,圖形為中心在原點的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 ? .,三元函數(shù),定義域為,圖形為,空間中的超曲面.,單位閉球,三、多元函數(shù)的極限,定義2. 設(shè) n 元函數(shù),點 ,,則稱

7、A 為函數(shù),(也稱為 n 重極限),當 n =2 時, 記,二元函數(shù)的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,,對一,記作,都有,對任意正數(shù) ? , 總存在正數(shù)? ,,切,例1. 設(shè),求證：,證:,故,總有,要證,例2. 設(shè),求證：,證：,故,總有,要證,? 若當點,趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,,在點 (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數(shù)極限

8、,則有,,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數(shù),,,函數(shù),僅知其中一個存在,,推不出其它二者存在.,? 二重極限,不同.,如果它們都存在, 則三者相等.,例如,,顯然,與累次極限,但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在 .,四、 多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3 . 設(shè) n 元函數(shù),定義在 D 上,,如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,如果存在,否則稱為

9、不連續(xù),,此時,稱為間斷點 .,則稱 n 元函數(shù),連續(xù).,連續(xù),,例如, 函數(shù),在點(0 , 0) 極限不存在,,又如, 函數(shù),上間斷.,故 ( 0, 0 )為其間斷點.,在圓周,結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):,解: 原

10、式,例4.求,例5. 求函數(shù),的連續(xù)域.,解:,,,,,內(nèi)容小結(jié),1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,,連通的開集,,2. 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),,,有,3. 多元函數(shù)的極限,4. 多元函數(shù)的連續(xù)性,1) 函數(shù),,,2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù),P61 題 2; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ;

11、 8P130 題 3; 4,思考與練習,解答提示:,P62 題 2.,稱為二次齊次函數(shù) .,P63 題 5(3).,定義域,P63 題 5(5).,定義域,,,,P63 題 8.,間斷點集,P130 題 3.,定義域,P130 題 4.,令 y= k x ，,若令,,, 則,,可見極限不存在,,,Ex:,1. 設(shè),求,解 令,,,,,,,,,3. 證明,,在全平面連續(xù).,證:,為初等函數(shù) , 故連續(xù).,又,故函數(shù)在全平面