《大學(xué)數(shù)學(xué)》輔導(dǎo)講義稿

1、《大學(xué)數(shù)學(xué)》輔導(dǎo)講義稿,賀家順2001-9-7,2001春開放教育《計(jì)算機(jī)》?？频诙W(xué)期,,總目錄,前言輔導(dǎo)進(jìn)度第一章 《多元函數(shù)的微積分》輔導(dǎo)提綱第二章 《矩陣》輔導(dǎo)提綱第三章 《線性方程組》輔導(dǎo)提綱第四章 《隨機(jī)事件與概率》輔導(dǎo)提綱第五章 《隨機(jī)變量及其數(shù)字特征》輔導(dǎo)提綱第六章 《 統(tǒng)計(jì)推斷》輔導(dǎo)提綱總復(fù)習(xí)提綱,前言,相信自己的能力，提高學(xué)習(xí)信心；加強(qiáng)自學(xué)，降低依賴心；抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；注意學(xué)習(xí)

2、方法，聯(lián)系前面所學(xué)知識(shí)，化“厚”為“薄”，多看多練；結(jié)合生產(chǎn)、生活，深入書中，其樂無窮。,,輔導(dǎo)進(jìn)度表,,第一章輔導(dǎo)提綱（1）,一、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1、求偏導(dǎo)數(shù)、全微分的方法；復(fù)合函數(shù)的微分法和求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法；用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法。2、直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法3、曲頂柱體的體積和曲面圍成的空間的體積的求法。,,第一章輔導(dǎo)提綱（2）,二、注意二元函數(shù)的微積分和一元函數(shù)微積分的聯(lián)系、區(qū)別 注意

3、二元函數(shù)的微積分和一元函數(shù)微積分聯(lián)系起來，會(huì)達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果，但也要幾點(diǎn)區(qū)別，不能一概而論；要善于把二元函數(shù)的微積分化為一元函數(shù)微積分。二元函數(shù)的微積分和一元函數(shù)微積分聯(lián)系、區(qū)別如下表：,,第二章 《矩陣》輔導(dǎo)提綱,矩陣及矩陣的運(yùn)算；逆矩陣和求法；方陣行列式及計(jì)算方法；線性方程組的克萊姆法則；矩陣的秩和矩陣的秩的大小判定；分塊矩陣和運(yùn)算,,一、矩陣的概念和幾種運(yùn)算1、矩陣的概念A(yù)）矩陣、元素和表示；B）n階矩陣、主

4、對(duì)角線、次對(duì)角線；C）零矩陣、字母O表示；負(fù)矩陣；單位矩陣——方陣D）同型矩陣,矩陣及矩陣的運(yùn)算,二、矩陣的運(yùn)算1、矩陣相等；2、矩陣的加法；3、數(shù)與矩陣的乘法；4、矩陣的乘法；5、矩陣的轉(zhuǎn)置；三、幾種特殊的矩陣（方陣）A）數(shù)量矩陣；B）對(duì)角矩陣；C）三角矩陣；D）對(duì)稱矩陣；（乘不封閉）,矩陣及矩陣的運(yùn)算,N階矩陣的行列式,n階矩陣的行列式的定義；展開；n階矩陣的行列式的性質(zhì)；3、5、7、2推論n階矩陣的行列

5、式的計(jì)算；（二三階、高階）方陣行列式定理。NO119,第三章 《線性方程組》輔導(dǎo)主要內(nèi)容,求線性方程組的一般解的高斯消元法；向量的線性運(yùn)算；齊次線性方程組的通解的求法；非線性方程組的通解的求法。,,,第三章 《線性方程組》1,一、高斯消元法1、基本概念和定理1）線性方程的一般形式和矩陣表示：

6、 不全為零 時(shí)，稱（*）為非齊次線性方程組； 時(shí)，稱（**）齊次線性方程組。 **,*,如,如,第三章 《線性方程組》2,矩陣表達(dá)式：設(shè),,則（*）簡寫為：,為增廣矩陣,A為 系數(shù)矩陣

7、；X為未知數(shù)矩陣；B為右端矩陣,（**）為,第三章 《線性方程組》3,2）基本定理：P185定理3.1。意義：利用初等行變換把增廣矩陣[A|B]化為階梯矩陣簡化線性方程組的求解過程。2、例題與練習(xí)例1：求下列線性方程組的（通）解解法1：[1]x[-1]=2,········初等解法得 x=1,y=2。解法2：因?yàn)橄禂?shù)矩陣

8、 用克萊姆法則：,第三章 《線性方程組》4,解法3：高斯消元法,最后矩陣相當(dāng)于方程組,注：1）對(duì)增廣矩陣的初等行變換過程~線性方程同解變形過程 2）可根據(jù)最后一個(gè)矩陣直接寫出結(jié)果,第三章 《線性方程組》5,例題2：求下列線性方程組的（通）解,注：不能用克萊姆法則,解1：即x+y=1,有2-1個(gè)自由未知量，一般解為x=1-y,令y=k,通解為x=1-k，y=k（k為任意實(shí)數(shù)）

9、。,解2：高斯消元法,也可寫作：,第三章 《線性方程組》6,例3：求下列線性方程組的（通）解,解法1：得 0= -1，無解,解法2：,無解,注：例1、2線性方程組稱為相容線性方程組；例3為不相容線性方程組。另外，高斯消元法比克萊姆法則更具有通用性。,第三章 《線性方程組》7,例4：求下列線性方程組的（通）解,解：,有三個(gè)獨(dú)立的方程，五個(gè)未知量，因而有5-3=2個(gè)自由未知量，一般解為：,,第三章 《線性方程組》8,(令 x4=k1,

10、x5=k2),矩陣表示式由來后面詳講,第三章 《線性方程組》9,二、n維向量及相關(guān)定理1、把二維、三維向量推廣到n維P195（定義、表示、分量）2、 n維向量的線性運(yùn)算,設(shè),為兩個(gè)同維向量，則,,n維向量和,的矩陣本質(zhì)相同；一個(gè)矩陣可看作若干個(gè)列（行）向量組成。,第三章 《線性方程組》10,3、相關(guān)定義、定理：1）線性組合（表出）的概念（P198）2）線性表出的充要條件、組合系數(shù)的求法（P199及P200例4） 例4

11、設(shè),（以下略）,3）向量組的線性相關(guān)性和無關(guān)性定義、判定定理（不全為零、全為零）,4）向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩的概念和求法、常用線性無關(guān)組,注：1)向量組的秩=矩陣的秩2)由于初等行變換不改變向量組線性相關(guān)性，極大無關(guān)組由主元不為零組成（可構(gòu)成上三角矩陣）,第三章 《線性方程組》11,三、齊次線性方程組（**）解的結(jié)構(gòu),,1、預(yù)備知識(shí)：線性方程（*）組相容性定理；解的個(gè)數(shù)定理。P218、P219,2、齊次線性方程組（**）解的

12、結(jié)構(gòu),1）平凡解、非平凡解及有關(guān)結(jié)論P(yáng)224,2）解的結(jié)構(gòu)——基礎(chǔ)解系的線性組合、通解,3、齊次線性方程組（**）解的非平凡解的求法（P225）,例：求下面齊次線性方程組的解的通解,,第三章 《線性方程組》12,解：,由此可見 x4x5為自由元。于是令x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,得解向量,原方程組的通解為,第三章 《線性方程組》13,三、非齊次線性方程組（*）解的結(jié)構(gòu),1、有關(guān)結(jié)論：P230,2、解的結(jié)構(gòu)（無窮解時(shí)）通

13、解=（*）特解+齊次線性方程組（**）通解,3、（*）通解求法,例4：求下列線性方程組的（通）解,第三章 《線性方程組》14,解：,因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩=3<5，所以原方程組有無窮解，且有2 個(gè)自由變元 x4 ,x5。令x4 =x5 =0，和x4=1,x5=0和x4=0,x5=1, 可得 1個(gè)特解和相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,,通解為,,第三章 《線性方程組》15,作業(yè)：P202 No.1 No.3P209

14、No.1 No.7P217 No.1(1) No.2P223 No.6P234 No.1,第三篇概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),學(xué)習(xí)的意義學(xué)習(xí)內(nèi)容：第四章：隨機(jī)事件與概率——古典實(shí)用的概率論；（古典、與貝努里概型貌 的概率第五章：隨機(jī)變量及數(shù)字特征——用隨機(jī)變量刻劃隨機(jī)事件；研究概率。第六章：統(tǒng)計(jì)推斷——用樣本（的數(shù)字）特征推斷總體（的數(shù)字）特征,第四章隨機(jī)事件與概率4-1,一、基本概念隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件 1）隨機(jī)現(xiàn)象及統(tǒng)計(jì)規(guī)律

15、 2）隨機(jī)試驗(yàn)及特點(diǎn)：為研究隨機(jī)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，表示：E；三個(gè)特點(diǎn) 3）隨機(jī)事件及特點(diǎn)： 基本事件（樣本點(diǎn)）：隨機(jī)試驗(yàn)中，每一可能發(fā)生的不能再分解的 基本結(jié)果。表示： 樣本空間：U 隨機(jī)事件：U的子集。表示：A、B、C、D……。 如：U=｛1，2，3，4，5，6

16、｝，A={出現(xiàn)三點(diǎn)}={3}，B={出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}={3，4}，C={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}={2，4，6}等，是U的子集為隨機(jī)事件。,第四章隨機(jī)事件與概率4-2,事件的關(guān)系和運(yùn)算(重點(diǎn)是把事件符號(hào)化，利于后面的計(jì)算） 1）事件的包含和相等： 2）事件的和：A+B 3）事件積：AB（和包含不同）？ 4）事件的差：A-B 5）互不相容事件：（互斥事件） 6）對(duì)立

17、事件：（和互斥事件不同） 7）完備事件組：兩兩互不相容且和是必然事件,第四章隨機(jī)事件與概率4-3,概率及其性質(zhì)1）頻數(shù)、頻率、概率的穩(wěn)定性、概率：P（A）2）概率的性質(zhì) ※頻率 ※ ※ ※完全可加性：

18、 兩兩互不相容，則,第四章隨機(jī)事件與概率4-4,二、古典概型及概率的計(jì)算 1）古典概型：試驗(yàn)結(jié)果個(gè)數(shù)有限；試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同； 基本事件互不相容。 2）古典概型的概率的計(jì)算：P（A）= ※簡單算法：P270 例2、例3、例4（1） ※排列組合算法：例4（2）（3）概率的運(yùn)算及法則：——復(fù)雜事件的概率

19、 簡單事件概率,,,1）,2）,3）,4）,5）若A1 ，A 2 ，A3 構(gòu)成完備事件組：P295,第四章隨機(jī)事件與概率4-5,三、貝努里概型及概率的計(jì)算事件的獨(dú)立性：P（A|B）=P（A）兩事件獨(dú)立 P（AB）=P（A）P（B）貝努里概型： 若 試驗(yàn)E：結(jié)果只有兩個(gè) ；在相同條件下獨(dú)立的重復(fù)n次；n

20、 次 試驗(yàn)中 事件A恰好發(fā)生k次的概率：例題：P291 例6,,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-1,一、隨機(jī)變量（函數(shù)）及分布、期望、方差 ;二、常用隨機(jī)變量的分布三、二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、期望、 方差、；,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-2,一、隨機(jī)變量及其分布 1、隨機(jī)變量的概念及和事件的關(guān)系 # 取值是隨機(jī)，事前并不知道取到哪一個(gè)值； # 所取的每一個(gè)

21、值，都對(duì)應(yīng)于某一事件； # 所取的每一個(gè)值的概率大小是確定的。 例題1：擲一骰子，A={出現(xiàn)1點(diǎn)}，B={出現(xiàn)2點(diǎn)}，C= {出現(xiàn)3點(diǎn)}········ F ={出現(xiàn)6點(diǎn)}，G= {出現(xiàn)2點(diǎn)或出現(xiàn)3點(diǎn)}，H={出現(xiàn)1點(diǎn)或出現(xiàn)2 點(diǎn)或出現(xiàn)3點(diǎn)}；X表示擲此骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則X可能的取值為 1，2

22、，3，4，5，6是隨機(jī)的且 所以,X可能的取值是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)——離散型隨機(jī)變量,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-3,例題2：P309例題3——連續(xù)型隨機(jī)變量（非離散型隨機(jī)變量中常見的一種） 2、隨機(jī)變量的分布：取值規(guī)律,例題3：例題1的隨機(jī)變量X的分布列,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-4,二、分布函數(shù)：（累加概率）,例題4 :例題1的分布函數(shù)是：,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-5,三、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

23、 1、概念： 對(duì) 于例題1中的中隨機(jī)變量X，設(shè) Y是X的函數(shù)， Y也是隨機(jī)變量 2、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布： 例題 6：例題1中，設(shè)Y=2X+1，求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布。 解：X的可能取值為：1，2，3，4，5，6。所以Y的可能取值為3，5，7，9，11，13。且 例題 7：書P318例題 11、

24、例題 12,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-6,四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征及性質(zhì),方差的簡化計(jì)算公式及性質(zhì)： 例8：P324 例3、4、5和P325的性質(zhì),第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-7,五、幾種常用的分布及數(shù)字特征 1、離散型,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-8,2、連續(xù)型,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-9

25、,3、正態(tài)分布 1）密度函數(shù) #圖象： #性質(zhì)：P332 #適用： #標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：密度函數(shù)：分布函數(shù)：性質(zhì)：3σ原則：,,,第五章隨機(jī)變量及數(shù)字特征5-9,六、二維隨機(jī)變量 1、聯(lián)合概率分布、聯(lián)合分布密度函數(shù)、聯(lián)合分布函數(shù) 2、二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性 3、二維隨機(jī)變量的函數(shù)的期望和方差公式：（主要是 Z=X+Y

26、 Z=XY） # E（X+Y）=E（X）+E（Y） #D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2 E{[X-E(X)] ·[Y-E(Y)]} # 若X，Y相互獨(dú)立 ，則E（XY）=E（X）E（Y） #若X，Y相互獨(dú)立 ，則D（X+Y）=D（X）+D（Y） 4、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) #協(xié)方差：cov(X,Y)=E{[

27、X-E(X)] ·[Y-E(Y)]} =E(XY)-E(X)E(Y) #若X，Y相互獨(dú)立 ， 則cov(X,Y)=0 5、相關(guān)系數(shù) # #相關(guān)系數(shù) |ρ| 越接近 1 X與Y越接近線性關(guān)系。,第六章統(tǒng)計(jì)推斷6-1,主要內(nèi)容：由樣本的數(shù)字特征對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行估計(jì)

28、和（一定概率下）的推斷一、矩估計(jì)、最大似然估計(jì)二、用區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體期望的置信區(qū)間三、單正態(tài)總體均值和方差的（顯著性）檢驗(yàn),第六章統(tǒng)計(jì)推斷6-2,一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 #總體和樣本 #樣本均值和樣本方差 #統(tǒng)計(jì)量：一個(gè)含有樣本值x1 ,x 2,x3 ······的式子，且不含未知量 #統(tǒng)

29、計(jì)量分布（抽樣分布）：設(shè)x1 ，x 2 ，x3 ， ······，xn是來自 正態(tài)總體 的一組樣本，則：,第六章統(tǒng)計(jì)推斷6-3,二、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 1、矩估計(jì)法 #原理：總體矩=相應(yīng)的樣本矩 2、最大似然估計(jì) #原理方法：求使似然函數(shù)值為

30、最大時(shí)的參數(shù) 例：P383例4 3、參數(shù)估計(jì)的無偏性和有效性 #若參數(shù) 的估計(jì)量 滿足：,第六章統(tǒng)計(jì)推斷6-4,三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1、原理：點(diǎn)估計(jì)可信度？在一定的概率（置信度）保證下的區(qū)間（置信區(qū)間）估計(jì)更可靠！2、正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望估計(jì) #已知方差#未知方差,第六章統(tǒng)計(jì)推斷6-5,3、正態(tài)總體的方差點(diǎn)估計(jì)

31、（了解） # 原理方法：,第六章統(tǒng)計(jì)推斷6-6,四、假設(shè)檢驗(yàn)：對(duì)樣本與總體產(chǎn)生的誤差作出判斷（條件？隨機(jī)？） 基本思想：在假設(shè)H0成立的條件下，求出接受域（區(qū)間），樣本的統(tǒng)計(jì)量落在接受域就說H0，否則H0的反面成立。主要正態(tài)總體介紹U和T檢驗(yàn)法。1、 U檢驗(yàn)法（總體方差已知，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)期望）例1：P403例22、 T檢驗(yàn)法（總體方差不知，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)期望）例2：P403例53、X2檢驗(yàn)法（總體數(shù)學(xué)期望不知檢驗(yàn)方差）例3：P4