2015年海南大學數學競賽輔導

1、2015年海南大學數學競賽輔導,（非數學類）,數列極限的定義,例,證,例,證,函數極限定義：,另兩種情形:,1、定義：,左極限,右極限,例,證,1.夾逼準則,極限存在準則和兩個重要極限,,,,,,,,,,,,2.單調有界準則,單調增加,單調減少,單調數列,,幾何解釋:,,,(1),(2),兩個重要極限,不能濫用等價無窮小代換.,切記，只可對函數的因子作等價無窮小代換，對于代數和中各無窮小不能分別代換.,注意,例,解,例,解,解,錯,例

2、1,例2,證,(舍去),例3、求極限,,【解】,,,,,,，,所以，,,,,二、請問 何值時下式成立,,【解】,因此要想極限存在，分子必,時使用洛必達法則得到,,由上式可知：當,,,時，若,，則此極限,，則,存在，且其值為0；若,綜上所述，得到如下結論：,,,定義:,最大最小值定理,定理 (最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值.,,,,,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立;

3、 2.若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立.,定義:,介值定理,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.,例1,證,由零點定理,,例2,證,由零點定理,,定義,導數定義,其它形式,即,★,2.右導數:,單側導數,1.左導數:,★,例,解,四、求數列,中的最小項。,【解】,,時的數列。,,又,且令,，,,,,,所以，,有唯一極小值,。而,，因此數列,的最小項 。,。,例,解,例,解,定義:,,

4、隱函數的顯化,問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?,隱函數求導法則:,用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.,隱函數求導,例,解,解得,例如,,消去參數,問題: 消參困難或無法消參如何求導?,參數方程所確定的函數導數,由復合函數及反函數的求導法則得,,,,,,例如,,,,,羅爾定理,例1,證,由介值定理,即為方程的小于1的正實根.,矛盾,,,,,,,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,例4,證,分析:,結論可變形為,泰勒(Taylor)

5、中值定理,麥克勞林(Maclaurin)公式,常用函數的麥克勞林公式,定義,定積分的定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,證明,利用對數的性質得,極限運算與對數運算換序得,故,例,將和式極限：,表示成定積分.,原式,,,定積分中值定理,積分中值公式,解,由積分中值定理知有,使,證,可變上下限積分,證,證,令,例6 求,解,由圖形可知,三、計算定積分 。,,【解】,,,作變換,，則,,,

6、，,,例4 設 求,解,例8 計算廣義積分,解,瑕點,不通過被積函數的原函數判定廣義積分收斂性的判定方法.,由定理1，對于非負函數的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理．,廣義積分的審斂法,例２,解,所給廣義積分收斂．,,,,旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．,,,,圓柱,圓錐,圓臺,旋轉體體積,,,,旋轉體的體積為,二

7、、平行截面面積為已知的立體的體積,,,如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,功 水壓力 引力,解,設木板對鐵釘的阻力為,第一次錘擊時所作的功為,例3 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？,設 次擊入的總深度為 厘

8、米,次錘擊所作的總功為,依題意知，每次錘擊所作的功相等．,次擊入的總深度為,第 次擊入的深度為,一階線性微分方程,上方程稱為齊次的．,上方程稱為非齊次的.,,齊次方程的通解為,（使用分離變量法）,解法,,非齊次微分方程的通解為,（常數變易法）,,５、二階常系數齊次線性方程解法,n階常系數線性微分方程,二階常系數齊次線性方程,二階常系數非齊次線性方程,解法,由常系數齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,,特征方程

9、為,,特征方程為,５、高階常系數齊次線性方程解法,二階常系數非齊次線性方程,對應齊次方程,通解結構,常見類型,難點：如何求特解？,方法：待定系數法.,一、 型,利用歐拉公式,注意,上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程.,五、求,【解】,當,時，,收斂；,。,考慮冪級數,,其收斂半徑為1，,收斂區(qū)間為,時，,當,發(fā)散，,設其和函數為,,則,，,于是，,故，,。,【解】,（*）,原方程可寫為,，,,即,這是一個

10、二階線性常系數非齊次方程，,，由（*）式知,特征方程為,，,齊次通解為,由原方程知,,,,則非齊次方程通解為,,,,中，求一條曲線L，使沿該曲線從o到A的積分,的值最小。,【解】,,,,,,；,令,，得,;,且 是 在(0,+∞)內的唯一極值點，故,時, 取最小值，則所求曲線為,八、設f (x)在[?1,1]上有二階導數，且,，,證明：,，x∈[?1,1]。,。,1．,2. f (x) = x在[

11、?1,1]上有且只有一個實根。,【證明】,1. 由泰勒公式,,，,,兩式相減并整理得,,于是,,,由于,,，,因此，,,。,，,。,但F(x)在[?1,1]上連續(xù),由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一個零點。 又由1可知,，故,這樣F(x)在[?1,1]上有且只有一個零點，即,在[?1,1]上嚴格單調，從而至多有一個零點。,f (x) = x 在[?1,1] 上有且只有一個實根。,九、設,在,為連續(xù)函數,則,【解】令,