第一節(jié) 方差分析原理

1、第一節(jié)方差分析原理一、方差分析基本思想一、方差分析基本思想方差分析（analysisofvariance，或縮寫ANOVA）又稱變異數(shù)分析，是一種應(yīng)用非常廣泛的統(tǒng)計方法。其主要功能是檢驗兩個或多個樣本平均數(shù)的差異是否有統(tǒng)計學意義，用以推斷它們的總體均值是否相同。它是真正用來進行上述“多組比較”問題的正確方法，從這個意義上說，它可看成是t檢驗等“兩組比較法”的推廣。理解方差分析的原理，主要在于其基本思想，而不在于數(shù)學推導。以單因素完全隨機

2、化實驗設(shè)計為例（這是最簡單的多組實驗設(shè)計）介紹方差分析的原理。注意下面列出的該種設(shè)計的數(shù)學模式，假設(shè)有k個處理，每個處理下有n個被試，一共有nk個被試。K個處理下的數(shù)據(jù)構(gòu)成比較中的k個組或k個樣本。處理T1T2…Tj…Tk各組數(shù)據(jù)X11X21…Xi1…Xn1X12X22…Xi2…Xn2………………X1jX2j…Xij…Xnj………………X1kX2k…Xik…Xnk不失一般地，其對應(yīng)的圖示如下：再對所有組求和得：顯然，上式左端的表達式就是

3、將所有k個樣本數(shù)據(jù)混在一起時所得總方差的分子部分，稱總平方和總平方和，記為SSt(sumofsquaretotal)；右端第一式是在各組內(nèi)計算得到的各組方差的分子部分，由于它度量的實際上是所有數(shù)據(jù)與其所在組均值的離差平方和，故稱之為組內(nèi)組內(nèi)平方和平方和，記為SSw(withingroup)，根據(jù)上述的模型，它的含義也就是誤差平方和；右端第二式度量的是各組的效應(yīng)平方和，稱組間平方和組間平方和（之所以有n倍，是因為每組中的效應(yīng)被重復累加了n

4、次），記為SSb(betweengroup)。上式簡記為：SSt=SSbSSw。此公式是和上述單因素完全隨機化設(shè)計的數(shù)學模型相對應(yīng)的。接下來的問題實際上是利用F檢驗進行方差比檢驗，即比較組間變異（方差或均方）和組內(nèi)變異的相對大小。因此，分別將上述平方和比各自的自由度得到組間方差（記為MSb）和組內(nèi)方差（記為MSw或MSe）。方差分析假定各處理方差相等，則各處理樣本的方差S21、S22，…，S2m都是處理總體方差σ2的無偏估計量。各處理方

5、差合成后估計精度更高（下式）。同時，MSb也是σ2的無偏估計量。則有：直觀地看，要檢驗的就是F值是否顯著地大于1，若大于1，說明組間變異中尚存在隨機誤差之外的顯著變異；否則說明組間變異和隨機誤差差不多，也即接受無差異零假設(shè)。從上面的推導過程看到，方差分析實際上是將實驗數(shù)據(jù)的總變異分解成若干個不同來源的分量（對于單因素完全隨機化實驗設(shè)計來說是分解成組間差異所引起的變異和組內(nèi)誤差所引起的變異），即將總的離均差平方和分解成幾個不同來源的平方和