雙曲線經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、14雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)班級(jí)班級(jí)姓名姓名知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡

2、僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.注意：1只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有；

3、3雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上.當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.知識(shí)點(diǎn)三：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線（a＞0，b＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱性：對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成―x，或把y換成―y，或把x、y同時(shí)換成―x、―y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心

4、對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=―a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x≤a或x≥a。（3）頂點(diǎn)：①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（―a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，―b），B2（0

5、，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。注意：①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。（4）離心率：①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2

6、b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。③等軸雙曲線，所以離心率。（5）漸近線：經(jīng)過點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=a，經(jīng)過點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是，我們把直線叫做雙曲線的漸近線。注意：雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線與的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)，，焦距性質(zhì)范圍，，

7、347如何確定離心率e的取值情況與雙曲線形狀的關(guān)系？：離心率，因?yàn)閏2=a2b2，用a、b表示為，當(dāng)e越大時(shí)，越大，即漸近線夾角（含x軸）越大，故開口越大；反之，e越小，開口越小。離心率反映了雙曲線開口的大小，且e＞1。8橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1||MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定

8、大于b）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：類型一：雙曲線的定義1已知⊙O1：(x5)2y2=4，⊙O2：(x－5)2y2=9（1）若動(dòng)圓P與⊙1，⊙2均內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡；（2）若動(dòng)圓Q與⊙1，⊙2均外切，求動(dòng)圓圓心Q點(diǎn)的軌跡。解析：（1）設(shè)⊙P半徑為R，∵⊙O1與⊙O2相離，∴|PO1|=R－2，|PO2|=R－3∴|PO1|－|PO2|=1，又|O1O2|=10∴由雙曲線的定義，P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，2a=1，2c＝10的雙曲線的右

9、支。（2）設(shè)⊙Q半徑為r，則|QO1|=r2，|QO2|=r3∴|QO2|－|QO1|=1，又|O1O2|=10∴由雙曲線的定義，Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，2a=1，2c＝10的雙曲線的左支。舉一反三：【變式1】已知定點(diǎn)F1(－20)、F2(20)，平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（）A|PF1|－|PF2|=3B|PF1|－|PF2|=4C|PF1|－|PF2|=5D|PF1|2－|PF2|2=4【答案】A【變式2】

10、已知點(diǎn)F1(0－13)、F2(013)，動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對(duì)值為26，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）Ay=0By=0（x≤－13或x≥13）Cx=0（|y|≥13）D以上都不對(duì)【答案】C【變式3】已知點(diǎn)P(xy)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A橢圓B雙曲線中的一支C兩條射線D以上都不對(duì)答案：B類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為－=1由已知得，又雙曲線過點(diǎn)，∴

11、∴：故所求雙曲線的方程為.解法二：依題意設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，解得，所以雙曲線方程為.【變式】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且頂點(diǎn)在軸，焦距為10，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】3已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2之間的距離為26，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：由題意得2a=24，2c=26?！郺=12，c=13，b2=132－122=25。當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)